精品解析：江苏省连云港市东海高级中学2023-2024学年高二下学期强化班第一次月考数学试题

东海高级中学2023-2024学年度第二学期高二强化班数学第一次月考试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间向量，，若，则（ ） A B. C. D. 2. 若双曲线（，）的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若抛物线上动点到其焦点的距离的最小值为1，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 4. 在四面体中，、、，，点为线段上动点（包含端点），设直线与所成角为，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数k的最小值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 7. 已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，为中点，过作轴垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，若，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线在，，两点处的切线分别与曲线相切于，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ） A. 是它的一条对称轴 B. 它的离心率为 C. 点是它一个焦点 D. 10. 已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 一定能被3整除 D. 的取值集合为 11. 在正方体中，分别为的中点，点满足，则（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积与点的位置有关 C. 的最小值为 D. 当时，平面截正方体的截面形状为五边形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等比数列的前项和为，若，则公比的取值范围为______． 13. 已知双曲线C的渐近线方程为，写出双曲线C的一个标准方程：___________. 14. 已知是圆锥的底面直径，是底面圆周上的一点，，则二面角的余弦值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为.若，(为偶数)，求的值. 16. 已知圆，圆的圆心在直线上，且经过，两点. （1）求圆的方程. （2）求经过两圆的交点的圆中面积最小的圆的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，点在上，点为的中点，且平面． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知双曲线经过椭圆的左、右焦点，设的离心率分别为，且． （1）求的方程； （2）设为上一点，且在第一象限内，若直线与交于两点，直线与交于两点，设的中点分别为，记直线的斜率为，当取最小值时，求点的坐标． 19. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式． （1）根据该公式估算的值，精确到小数点后两位； （2）由该公式可得：．当时，试比较与大小，并给出证明； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东海高级中学2023-2024学年度第二学期高二强化班数学第一次月考试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，可得，从而可求解. 【详解】由题意得因， 所以，解得，故A正确. 故选：A. 2. 若双曲线（，）的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的离心率为,即可求得渐近线方程. 【详解】由题,因为,所以, 所以渐近线方程为, 故选:B 【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程,考查双曲线的离心率的应用. 3. 若抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义及抛物线的方程的性质即可求解. 详解】由，得焦点， 设抛物线上一点，则 由抛物线的定义知，， 所以，