2.6.1 一、余弦定理课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

余 弦 定 理 3 甲同学家离学校10km,乙同学家离甲同学家3km,问乙同学家离学校多少km? 一、创设情境 甲 乙 学校 3km 3km 10km 乙 乙 10km 3km 甲 学校 (1)若在同一直线上,距离是13或7km; (2)若不在同一直线上,距离是多少呢? 3km 10km ①若 ABC为直角三角形, ②若 ABC不是直角三角形呢? 4 a b c 5 甲同学家离学校10km,乙同学家离甲同学家3km,问乙同学家离学校多少km? 一、创设情境 甲 乙 学校 3km 3km 10km 乙 10km 3km (1)若在同一直线上,距离是13或7km; (2)若不在同一直线上,距离是多少呢? 3km 10km ①若 ABC为直角三角形, ②若 ABC不是直角三角形呢? 6 余弦定理 a b c 7 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 余弦定理可以看作是勾股定理的推广, 勾股定理可以看作是余弦定理的特例. 余弦定理的应用: (2)已知三角形三边求三角问题. (1)已知三角形两边及其夹角求第三边问题; 甲同学家离学校10km,乙同学家离甲同学家3km,问乙同学家离学校多少km? 一、创设情境 甲 乙 学校 3km 3km 10km 乙 10km 3km (1)若在同一直线上,距离是13或7km; (2)若不在同一直线上,距离是多少呢? 3km 10km ①若 ABC为直角三角形, ②若 ABC不是直角三角形呢? 9 余弦定理 a b c 10 古希腊 亚里士多德 (公元前384-公元前322) 力的合成 与平行四边形法则 德国 高斯 (1777-1855) 将向量表示为 有序实数对(a,b) 英国 吉布斯 (1839-1903) 英国 亥维塞 (1850-1925) 开创三维向量分析 引进了两种类型的向量乘法 德国 格拉斯曼 (1809-1877) 引入了n维向量的概念 向量的历史 二、欧几里得证明勾股定理 勾股定理的欧几里得证法 ——“新娘的座椅” 欧几里得(约公元前330年-公元前 275年) 及其著作《几何原本》 二、欧几里得证明勾股定理 a b c C A B 13 二、欧几里得证明勾股定理 a b c 14 二、欧几里得证明勾股定理 15 二、欧几里得证明勾股定理 a b c C A B 《几何原本》命题 .47: 直角三角形斜边上的正方形的面积等于两直角边上的两个正方形的面积之和. 16 a b c 三、欧几里得几何命题 C A B a b c C A B 17 三、欧几里得几何命题 C A B 18 三、欧几里得几何命题 命题 .13 在锐角三角形中,锐角对边上的正方形面积小于该锐角两边上的正方形面积之和,其差为一矩形的两倍,该矩形由另一锐角的对边和从该锐角(顶点)向对边作垂线,垂足到原锐角(顶点)之间的一段所构成. a b c 19 三、欧几里得几何命题 命题 .12 在钝角三角形中,钝角对边上的正方形面积大于两锐角对边上的正方形面积之和,其差为一矩形的两倍,该矩形由一锐角的对边和从该锐角(顶点)向对边延长线作垂线,垂足到钝角(顶点)之间的一段所构成. 三、欧几里得几何命题 欧几里得证明: 四、16世纪平面三角出现,丰富了表达形式 弗朗索瓦 韦达(1540年-1603年) 22 四、16世纪平面三角出现,丰富了表达形式 弗朗索瓦 韦达(1540年-1603年) 最后由意大利数学家卡诺里(M.Cagnoli,1743-1816)在其《平面与球面三角形》中利用欧几里得的证明方法得到了今天这个形式. 五、例题讲解 例1. (北师大版教材110页练习题第2题) ABC的三边之比为3∶5∶7,求这个三角形的最大角. 解: 不妨设a:b:c=3:5:7, 设a=3k,b=5k,c=7k(k>0), 由余弦定理知 又因为C为 ABC的内角, 所以C∈(0, ), 所以C=120 . 由大角对大边知, ABC的最大角为C, 五、例题讲解 25 五、例题讲解 如图设 ABC 的三边为AB=x,BC=z,AC=4, 同理设 ABD的三边BC=z,BD=y,CD=3,∠DBC=60 , 因为∠ABC+∠DBC=180 ,所以A、B、D三点共线, 所以在 ACD中, ACD为直角三角形, ∠ABC=120 , 所以AD=AB+BD=x+y=5, 26 五、例题讲解 27 六、小结 1. 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍; 2.余弦定理在解三角形中的应用; 3.分类讨论、数形结合、类比、转化与化归、从特殊到一般等数学思想方法. 28 谢谢倾听! 29 $$