期中复习专题02 二次根式中的特殊题型 讲义-2023-2024学年 人教版八年级数学下册

◄ 专题02 二次根式中的特殊题型 ► 知识导学 1.分母有理化 （1）二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化． （2）分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜． 2.二次根式的规律探究 二次根式的规律探究题，解题的关键在于观察、分析题中所举例子的运算过程，然后合理猜想，探究出一般规律．要对猜想、探究出的规律进行推理论证，以确保其正确性，而后方可运用规律去解决其他问题． 3. 新定义运算 新定义运算是数学中常考的题型，最终还是要学会转化成熟悉的二次根式的运算. 导图导学 考向导学 ♫ 考向1 分母有理化 对点演练 1.（2023秋•长宁区校级期末）分母有理化：　　． 【答案】． 【分析】根据分母有理化的方法进行解题即可． 【解答】解：． 故答案为：． 2.（2023春•德城区校级月考）已知，，则与的关系是　 　． 【分析】先化简，而，从而可知、关系． 【解答】解：， ， 故与互为相反数， 故答案是互为相反数． 3.（2023秋•永州期末）阅读理解：观察下列等式： ①； ②； （1）利用你观察到的规律，化简：　　； （2）计算：　　； （3）若，，比较，两数的大小，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）通过比较、的倒数大小进行判断． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）原式 ； 故答案为：； （3）． 理由如下： ，， 而， 所以． 名师点拨 1. 如果分母为的形式，分子、分母同乘以，可将分母有理化. 2. 如果分母为a的形式，分子、分母同乘以a可将分母有理化. ♫ 考向2 二次根式的规律探究 对点演练 1.（2023春•诸暨市月考）将一组数据，，3，，，，，按下面的方法进行排列： ，，3，，； ，，，，； 若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的数的位置记为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意可以得到每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得到所在的位置． 【解答】解：由题意可得，每五个数为一行，， ，， 故位于第六行第五个数，位置记为， 故选：． 2.（2023秋•萧县期末）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第是整数，且行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）　　 A． B． C． D． 【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出行的数字个数，再加上从左向右的第个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 【解答】解：由图中规律知，前行的数据个数为， 所以第是整数，且行从左向右数第个数的被开方数是 ， 所以第是整数，且行从左向右数第个数是． 故选：． 3.（2023•平潭县校级开学）小明做数学题时，发现；；；；；按此规律，若，为正整数），则　　 A．64 B．72 C．65 D．73 【答案】 【分析】找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值． 【解答】解：根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故选：． 名师点拨 和其它规律探究一样，先从简单的二次根式等式入手，层层递进，经过猜想、归纳得出一般规律，并加以严格的数学论证．在解决此类问题时，如果由题目提供的几个等式还看不出规律，可以"依葫芦画瓢"再写几个等式，这样一来找规律会更容易些． ♫ 考向3 二次根式的运算与求值技巧 对点演练 1.（2023春•绥江县期中）若，则代数式的值为　　 A． B．2019 C． D．2023 【答案】 【分析】先把已知条件变形得到，再两边平方，然后利用完全平方公式展开即可． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 2.（2023秋•莲湖区期末）已知，，求的值． 【答案】10． 【分析】先计算出和的值，再利用完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：，， ，， ． 3.（2023秋•姑苏区期末）若，，求代数式的值． 【答案】2． 【分析】先利用多项式乘法展开得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：，， ． 名师点拨 在进行二次根式的运算时，要观察式子的特点，多用乘法公式转化，多采用数学中的整体思想代入求值，这样可以简化运算过程. ♫ 考向4 二次根式的新定义运算 对点演练 1.（2023春•科左中旗期末）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算“※”如下：※