抛物线的定义、方程与性质专项练习-2024届高考数学一轮基础知识复习

抛物线的定义、方程与性质 一、单选题 1．已知抛物线的焦点在轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 2．已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（    ） A．6 B． C． D． 4．已知抛物线（）的焦点为F，直线与C交于A，B两点，若，则（    ） A．4 B． C．5 D． 5．已知拋物线的焦点为，抛物线上一点A在准线上的射影为，且为等边三角形.若，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知以圆：的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，点是抛物线：上任意一点，与直线垂直，垂足为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为F，定点，点P是抛物线上一个动点，则的最小值为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．8 8．已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，过拋物线的焦点的直线与拋物线交于两点，与其准线交于点（点位于之间）且于点且，则等于（    ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线斜率的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 11．已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为3，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 . 14．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为.若，，与相交于点，且，则的面积为 . 15．已知抛物线的焦点为，点在上，且在第一象限，则点的坐标为 ；若，点到直线的距离为 . 16．已知抛物线：，直线：，：，M为C上的动点，则点M到与的距离之和的最小值为 . 17．已知为抛物线：上一点，为焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若的周长不小于48，则点的纵坐标的取值范围是 . 18．已知抛物线：的焦点为，点在轴上，线段的延长线交于点，若，则 ． 三、解答题 19．已知O是坐标原点，过抛物线的焦点F作直线l与C交于A，B两点． (1)证明：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切； (2)求面积S的最小值． 20．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2． （1）求C的方程; （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值. 21．如图，已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M. (1)求抛物线的方程； (2)过点M作MN⊥ FA，垂足为N，求点N的坐标. 参考答案： 1．D 2．A 设， 抛物线，则， 焦点恰好是的重心， 则， 故． 3．B 解：如图所示：    设鸽子所在位置为点， 因为它到抛物线焦点的距离为10米， 所以，解得， 则， 所以鸽子到拱顶的最高点的距离为， 4．D 不妨设点A在第一象限，则，代入中，解得， 故． 5．B 由题意可知：拋物线的焦点为，准线为， 设准线与x轴的交点为，则， 可得， 在中，则， 即，解得， 故抛物线方程为. 6．A 因为的圆心 所以以为焦点的抛物线方程为， 由，解得， 抛物线的焦点为，准线方程为，如图， 即有， 当且仅当在之间）三点共线，可得最大值， 7．C 由题意可判断在抛物线内部，如图示， 作 垂直于抛物线的准线，垂足为E，则 , 故, 过A作抛物线准线的垂线，如图中虚线位置，交抛物线于点， 则当P点位于时，即A,P,E三点共线时，取得最小值， 最小值为 ， 8．B 解：因为抛物线，所以焦点坐标为，如下图所示：    连接，过作垂直准线于， 则在直角中，， 所以 由抛物线的定义得：，则由图可得的最小值即抛物线顶点到准线的距离，即， 所以. 9．B 设于点，准线交轴于点G， 则，又， ∴，又于点且， ∴BE∥AD