第一章 第一节 集合-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第一节　集　合 知识点1　集合的相关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (3)集合的三种表示方法：__列举法__、__描述法__、__图示法__． (4)五个特定的集合 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点2　集合间的基本关系 　表示 关系　 文字语言 符号语言 记法 基本 关系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A⇒__x∈B__ A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A A⊆B，且∃x0∈B，__x0∉A__ AB或BA 相等 集合A，B的元素完全相同 x∈A⇔x∈B A＝B 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的__子集__，是任何非空集合B的__真子集__ ∀x，x∉∅，∅⊆A，∅B(B≠∅) ∅ 知识点3　集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 __A∪B__ __A∩B__ 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 意义 __{x|x∈A，或x∈B}__ __{x|x∈A，且x∈B}__ __{x|x∈U，且x∉A}__ [常用结论] 1．子集个数 若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2. 2．几个常用等价关系 (1)A∩B＝A∪B⇔A＝B. (2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁UA)⊇(∁UB)⇔A∩(∁UB)＝∅. 3．集合的运算性质 (1)A∪∅＝A，A∪A＝A，A∪B＝B∪A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)． (2)A∩∅＝∅，A∩A＝A，A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B. (3)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． (4)A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A. 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．(　　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(　　) (4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(　　) 【解析】　(1)错误．空集只有一个子集．(2)错误．{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集．(3)错误．当x＝1时，不满足集合中元素的互异性． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 教材衍化 2．(2023·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末)已知集合M＝{0,2，a}，N＝{2a,4－a}，M∩N≠∅，则a的可能取值的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　因为M∩N≠∅，所以2a∈M或4－a∈M，所以2a＝0或2a＝2或2a＝a或4－a＝0或4－a＝2或4－a＝a，解得a＝0或1或2或4，经检验当a＝0或a＝2时，不满足集合中元素的互异性，所以a的可能取值为1,4，共2个．故选B. 【答案】　B 3．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R且y＝x}，则A∩B中元素的个数为__________． 【解析】　集合A表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点的集合，集合B表示直线y＝x上的点的集合，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点，则A∩B中有两个元素． 【答案】　2 考题体验 4．(2023·全国乙卷(理))设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　　) A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN 【解析】　M∪N＝{x|x<2}，所以∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，故选A. 【答案】　A 【例1】　若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于(　　) A． B． C．0 D．0或 【思路点拨】　在解题过程中应根据a是否为0分情况进行讨论． 【自主解答】　若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a＝0时，x＝，符合题意． 当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝， 所以a的值为0或. 【答案】　D 【解题心得】　如果题目条件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型． 【例2】　若a，b∈R，