第一章 3.1 双曲线的标准方程及其几何性质-【学习帮】高中数学圆锥曲线专项例题精讲精析

3.1 双曲线的标准方程及其几何性质 一、双曲线的基础知识 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 定义 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。即。①当时，轨迹是双曲线；②当时，轨迹是两条射线； ③当时，轨迹不存在； 图形 标准 方程 范围 或， 或， 顶点 轴长 虚轴的长 实轴的长 的关系 （符合勾股定理的结构） 最大， 焦点 、 、 焦距 焦半径公式 焦点 三角形 焦点弦长公式 过左焦点与左支交于两点时：； 过右焦点与右支交于两点时：。 过下焦点与下支交于两点时：； 过上焦点与上支交于两点时：； 焦准距 通径 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 离心率 ，越大，双曲线的开口越阔 渐近线方程 第二 定义 到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数是双曲线的离心率。 准线 方程 二、双曲线常用结论 1.⑴与共轭的双曲线方程为，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，为半径的圆上；③。 ⑵与有相同焦点的双曲线方程为 ⑶与有相同焦点的椭圆方程为 ⑷与有相同焦点的双曲线方程为； ⑸与有相同离心率的双曲线方程为：①焦点在轴上时： ②焦点在轴上时； ⑹与有相同的渐近线方程为； 2.双曲线的两焦点分别为,是双曲线上任意一点,则有以下结论成立: (1); (2); 3.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则 ①. ②焦点三角形的面积. 4.有关的经典结论 ①是双曲线（）的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即； ②双曲线的方程为（），为双曲线的实轴顶点，点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有； ③双曲线的方程为（），为双曲线的虚轴端点，点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有； ④双曲线的方程为（），过原点的直线交双曲线于两点，点是双曲线上异于两点的任一点，则有。 5.若在双曲线上，则： ①以为切点的切线斜率为；②过的双曲线的切线方程是. 6.若在双曲线外 ，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是； 7. 双曲线的两个顶点为,，与轴平行的直线交双曲线于时，与交点的轨迹方程是； 8.过双曲线上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于两点，则直线有定向且（常数）. 9.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为, 10.双曲线焦点到渐近线的距离总是，顶点到渐近线的距离为；实轴顶点到两渐近线的距离之积为定值； 11.与双曲线（）有相同渐近线的双曲线方程可设为 12.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为； 13.双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. 14.设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于两点，焦点在轴的焦点弦长为 ，其中为实半轴，为虚半轴，为半焦距，为的倾斜角； 15.若是过焦点的弦,设, ,当交在同支时, ；当交在两支时, (设) 16.已知双曲线，为坐标原点，为双曲线上两动点，且. ①;②的最小值为;③的最小值是. 【题型1】待定系数法求双曲线方程 【例1】已知双曲线过点，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程是(　　) 【答案】 【解析】法一：当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的标准方程是，由题意得，解得，该双曲线的标准方程为；当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的标准方程是，由题意得无解，故该双曲线的标准方程为，选. 法二：当其中的一条渐近线方程中的时，，又点在第一象限，双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程是，由题意得，解得，该双曲线的标准方程为，故选. 法三：因为双曲线的渐近线方程为，即，可设双曲线的方程是，将点代入，得，该双曲线的标准方程为，故选. 【例2】与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是(　　) 【答案】 【解析】法一：椭圆的焦点坐标是．设双曲线方程为， 双曲线过点，，又，解得，所求双曲线方程是； 法二：设所求双曲线方程为，将点的坐标代入可得，解得(舍去)，所求双曲线方程为。 【例3】设双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为，则此双曲线的标准方程是____________． 【答案】 【解析】法一：椭圆的焦点坐标是，设双曲线方程为，根据双曲线的定义知，故，又，故所求双曲线的标准方程为。 法二：椭圆的焦点坐标是，设双曲线方程为，则 ，①又点在双曲线上，②，联立①②解得，故所求双曲线的标准方程为； 法三：设双曲线的方程为，由于双曲线过点，故，解得，经检验都是方程的根，但不符合题意，应舍