第一章 第五节 基本不等式及其应用-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第五节　基本不等式及其应用 知识点1　基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当__a＝b__时取等号． (3)其中　　称为正数a，b的算术平均数，　　称为正数a，b的几何平均数． 知识点2　两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥__2ab__(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 知识点3　利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最__小__值是2(简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当__x＝y__时，xy有最__大__值是(简记：和定积最大)． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　) (2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (3)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4.(　　) (4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　) 【解析】　(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R； 不等式≥成立的条件是a＞0，b＞0. (2)函数y＝x＋的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值． (3)函数f(x)＝sin x＋没有最小值． (4)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 教材衍化 2．(2023·陕西榆林·高二校联考期中)已知a>0，b>0，a＋4b＝2，则ab的最大值为(　　) A．　　　　　　　　 B． C．1 D．2 【解析】　因为a>0，b>0，a＋4b＝2，由基本不等式可得2＝a＋4b≥2 ＝4 ，可得ab≤，当且仅当a＝4b，即a＝1，b＝时，等号成立，所以ab的最大值为.故选A. 【答案】　A 3．(多选题)若x≥y，则下列不等式中正确的是(　　) A．3x≥3y B.≥ C．x2≥y2 D．x2＋y2≥2xy 【解析】　由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有3x≥3y，故A正确； 当0＞x≥y时，≥不成立，故B错误； 当0≥x≥y时，x2≥y2不成立，故C错误； x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0成立，即x2＋y2≥2xy成立，故D正确． 【答案】　AD 考题体验 4．(2023·滨州三校联考)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 【解析】　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C. 【答案】　C 5．(2023·长沙月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大． 【解析】　设矩形的长为x m，宽为y m．则x＋2y＝30(0＜x≤18)，所以S＝xy＝x·(2y)≤2＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号． 【答案】　15　 【例1】　(1)(2023·福建四校联考)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________． (2)已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a(a＋3b)的最大值是(　　) A. B. C．3 D．9 【思路点拨】　利用基本不等式求最值常用配凑法． 【自主解答】　(1)因为x<，所以5－4x>0， 则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号． 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1. (2)因为a>0，b>0,4a＋3b＝6， 所以a(a＋3b)＝·3a(a＋3b)≤2 ＝×2＝3， 当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝时，a(a＋3b)的最大值是3.故选C. 【答案】　(1)1　(2)C 【解题心得】　配凑法求最值的实质及关键点 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键． 【例2】　(2023·江淮十校第三次联考)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为__________． 【思路点拨】　a＋b＝1；a＋b＝m时要进行适当的转化为右端为1. 【自主解答】　因为a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2 ＝2＋2＝4. 当且仅当a＝b＝时，取等号． 【答案】　4 【解题心得】　常数代换法求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除