第一章 第四节 一元二次不等式及其解法-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第四节　一元二次不等式及其解法 知识点1　一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的__整式不等式__叫做一元二次不等式． 知识点2　三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 __(－∞，x1)∪__ __(x2，＋∞)__ 　∪　 　　 　R　 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 __(x1,_x2)__ __∅__ __∅__ 知识点3　(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a＜b a＝b a＞b (x－a)·(x－b)>0 __{x|x<a或x>b}__ __{x|x≠a}__ __{x|x<b或x>a}__ (x－a)·(x－b)<0 __{x|a<x<b}__ __∅__ __{x|b<x<a}__ 知识点4　分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)． (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. [常用结论] 1．绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间． 2．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形． 3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　) (3)不等式x2≤a的解集为[－，]．(　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.(　　) 【解析】　(3)错误．对于不等式x2≤a，当a>0时，其解集为[－，]；当a＝0时，其解集为{0}，当a<0时，其解集为∅.(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为∅. 【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 教材衍化 2．(2023·天津南开·高二南开中学校考期末)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为(－3,1)，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集为(　　) A. B.∪(1，＋∞) C. D．(－∞，－1)∪ 【解析】　因为关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为(－3,1)，所以a<0，且－3＋1＝－，－3×1＝，所以b＝2a，c＝－3a，所以cx2＋bx＋a<0化为3x2－2x－1<0，解得－<x<1.故选A. 【答案】　A 3．y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________． 【解析】　由题意，得3x2－2x－2>0， 令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝， ∴3x2－2x－2>0的解集为 ∪. 【答案】　∪ 考题体验 4．(2023·大连质检)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a－b的值是(　　) A．－10 B．－14 C．10 D．14 【解析】　由题意知，－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，所以解得故a－b＝－10. 【答案】　A 5．(多选题)(2023·德州模拟)关于x的不等式(ax－1)(x＋2a－1)＞0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为(　　) A．－ B．1 C．－1 D．2 【解析】　由题意知a＜0，则排除B，D；对于A项，当a＝－时，(x－2)＞0，即(x＋2)(x－2)＜0，解得－2＜x＜2，恰有3个整数，符合题意；对于C项，当a＝－1时，(－x－1)(x－3)＞0，即(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，恰有3个整数，符合题意，故选AC. 【答案】　AC 【例1】　 (1)不等式0<x2－x－2≤4的解集为__________． (2)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)． 【思路点拨】　函数方程不等式，图象交点是标志；首项系数先化正，判别式，符号定；若为正，记口诀，小于中间大于侧． 【自主解答】　(1)原不等式等价于 即 解得 故原