第一章 第三节 不等关系与不等式-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第三节　不等关系与不等式 知识点1　两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 知识点2　等式的性质 (1)对称性：若a＝b，则b＝a. (2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c. (3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c. (4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd. 知识点3　不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c__＞__b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c__＞__b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac__＞__bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac__＞__bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an__＞__bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒__＞__(n∈N，n≥2)． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　) (2)a＝b⇔ac＝bc.(　　) (3)若>1，则a>b.(　　) (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.(　　) 【解析】　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2 a＞b；反之，c＝0时，a＞b ac2＞bc2. (2)由等式的性质，a＝b⇒ac＝bc；反之，c＝0时，ac＝bc a＝b. (3)a＝－3，b＝－1，则>1，但a<b，故(3)错． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 教材衍化 2．关于x的不等式ax<1的解集，下列说法不正确的是(　　) A．可能为∅ B．可能为R C．可能为 D．可能为 【解析】　若a＝0，不等式ax<1的左边＝0，∴x∈R，B正确；若a>0，则x<，D正确；若a<0，则x>，C正确；∴不等式的解集不可能为∅.A错误；故选A. 【答案】　A 3．比较两数的大小：＋_______＋. 【解析】　(＋)2＝17＋2，(＋)2＝17＋2，∴(＋)2＞(＋)2，∴＋＞＋. 【答案】　＞ 考题体验 4．已知a>b>c>d>0，则下列结论不正确的是(　　) A．a＋c>b＋d B．ac>bd C.> D.> 【解析】　∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d，故A正确；∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴ac＞bd，故B正确；取a＝4，b＝3，c＝2，d＝0.1，则＝2，＝30，此时<，故C错误；∵c＞d＞0，则>>0，又a＞b＞0，则>，故D正确．故选C. 【答案】　C 5．(2023·深圳调研)若a，b∈R，且a＞|b|，则(　　) A．a＜－b B．a＞b C．a2＜b2 D.＞ 【解析】　由a＞|b|可知，当b≥0时，a＞b；当b＜0时，a＞－b，则a＞0＞b，综上可知，当a＞|b|时，a＞b恒成立，故选B. 【答案】　B 【例1】　已知a>b>1，给出下列不等式：①>；②a3＋b3>2a2b；③a＋>b＋.其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【思路点拨】　应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法(作差——变形——判断符号——结论) 【自主解答】　对于①：－＝＝＝，因为a>b>1，所以a－b>0，a＋1>0，所以－＝>0，即>，故①正确； 对于②：当a＝3，b＝2时，a3＋b3＝33＋23＝35,2a2b＝2×32×2＝36，a2＋b3<2a2b，故②错误； 对于③：a＋－＝a－b＋－＝a－b＋＝(a＋b)·，因为a>b>1，所以a－b>0，ab>1，所以a＋－>0，即a＋>b＋，故③正确．所以正确的不等式有①③，共2个． 【答案】　B 【解题心得】　1.作差法一般步骤： (1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． 2．作商法一般步骤： (1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论． 3．函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系． 4．特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小． 【例2】　(1)(多选题)设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　) A．a＜b B.－c＞－c C.＞ D．ac2＜bc2 (2)(多选题)(2023·南京调研)若＜＜0，则下列不等式中正确的是(　　) A.＜ B．|a|＋b＞0 C．a－＞b－ D．ln a2＞ln b2 【思路点拨】　应用不等式性质证明不等式 【自主解答】　(1)因为y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以a＜b.因为y＝－c在(0，＋∞)上是减函数，所以－c＞－c.因为－＝＞0，所以＞.当c＝0时，ac2＝bc2，所以D不成立，故选ABC. (2)由＜＜0