第一章 第二节 充分条件与必要条件，全称量词与存在量词-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第二节　充分条件与必要条件，全称量词与存在量词 知识点1　充分条件、必要条件的判定 充分条件与必要条件的定义 从集合角度理解 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B p是q的充分不必要条件 p⇒q且__qp__ A是B的真子集 集合 与充 要条 件的 关系 p是q的必要不充分条件 pq且__q⇒p__ B是A的真子集 p是q的充要条件 p⇔__q__ A＝B p是q的既不充分也不必要条件 pq且　qp　 A，B互不包含 思考：“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”有区别吗？ 提示：有区别：前者是“p⇒q且qp”，而后者是“q⇒p且pq”． 知识点2　全称量词命题与存在量词命题 命题量词名称 命题结构 命题简记 命题的否定 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) __∃x0∈M，¬p(x0)__ 存在量词命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) __∀x∈M，¬p(x)__ [常用结论] 1．充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”． (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)． 2．(1)p⇒q等价于¬q⇒¬p. (2)qp等价于¬ p ¬q. 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(　　) (2)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　　) (3)写存在性命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　　) (4)“长方形的对角线相等”是存在性命题．(　　) 【答案】　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 教材衍化 2．设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是a>的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　若“ab>1”，当a＝－2，b＝－1时，不能得到“a>”，若“a>”，例如当a＝1，b＝－1时，不能得到“ab>1”，故“ab>1”是“a>”的既不充分也不必要条件． 【答案】　D 3．(2023·重庆·高二统考期末)命题：∀x<0，x＋<－2的否定是(　　) A．∀x<0，x＋≥－2 B．∃x≥0，x＋≥－2 C．∃x<0，x＋≥－2 D．∃x≥0，x＋<－2 【解析】　命题“∀x<0，x＋<－2”为全称命题，该命题的否定为“∃x<0，x＋≥－2”．故选C. 【答案】　C 考题体验 4．(2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测)“a>|b|＋1”是“a>b”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　当a>|b|＋1时，a>|b|≥b，即a>b，充分性成立；当a＝1，b＝－1时，a<|b|＋1，必要性不成立．故“a>|b|＋1”是“a>b”的充分不必要条件．故选B. 【答案】　B 5．若命题“∃t0∈R，t－2t0－a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 【解析】　命题“∃t0∈R，t－2t0－a＜0”是假命题，等价于∀t∈R，t2－2t－a≥0是真命题，∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.∴实数a的取值范围是(－∞，－1]． 【答案】　(－∞，－1] 【例1】　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数； (2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除； (3)∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数； (4)∃x∈{x|x∈Z}，log2 x＞0. 【思路点拨】　判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要看命题中是否含有全称量词或存在量词，对于有的题目隐含了全称量词或存在量词，要注意对其进行改写来找到．对于(1)隐含了全称量词“任意的”，因此需要对其进行改写，(2)(3)(4)则从题目中可以看出全称量词与存在量词． 【自主解答】　(1)本题隐含了全称量词“任意的”，其实原命题应为：“任意的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题； (2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，且为真命题； (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为假命题，例如：∃x0＝，但x＝3是有理数； (4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，且为真命题． 【例2】　写出下列命题的否定形式： (1)有些三角形的三个内角都等于60°； (2)能够被3整除的整数，能够被6整除；