第五章 第一节 数列的概念与简单表示法-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第一节　数列的概念与简单表示法 知识点1　数列的有关概念 (1)数列的定义：按照__一定顺序__排列的一列数称为数列，数列中的__每一个数__叫做这个数列的项． (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． (3)数列表示法，__列表法、图象法和解析法__． 知识点2　数列的分类 (1)按照项数有限和无限分： (2)按单调性来分： 知识点3　数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． (2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 通项公式和递推公式的异同点 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号n的值，直接代入求出an 都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项 递推公式 可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列．(　　) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) 【解析】　(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列． (2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列． (3)数列可以是常数列或摆动数列． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 教材衍化 2．数列{an}的前几项为，3，，8，，…，则此数列的通项可能是(　　) A．an＝　 　 B．an＝ C．an＝ D．an＝ 【解析】　数列为，，，，，…，其分母为2， 分子可表示为1＋5(n－1)＝5n－4， 因此通项公式可能为an＝. 【答案】　A 3．(2023·河南郑州·高二统考期末)已知数列{an}，满足an－an－1＝2，a1＝0，则a10＝(　　) A．18 B．36 C．72 D．144 【解析】　由题意可知：a10－a9＋a9－a8＋…a3－a2＋a2－a1＝a10－a1＝9×2⇒a10＝18.故选A. 【答案】　A 考题体验 4．(多选题)(2023·长沙月考)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是(　　) A．an＝(－1)n－1＋1 B．an＝ C．an＝2sin D．an＝cos [(n－1)π]＋1 【解析】　对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sin 不合题意，其他都可能． 【答案】　ABD 5．(2023·盐城调研)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1＝__________． 【解析】　由题意得a4＝S4－S3＝32. 即－＝32，解得a1＝. 【答案】　 【例1】　写出下列数列的通项公式： ①－3，0，3，6，9，…；②3，5，9，17，33，…； ③4，－4，4，－4，4…；④1，0，1，0，1，…. 【自主解答】　①后一项均等于前一项加上3，那么第n项就是第一项加上(n－1)个3. ∴an＝－3＋(n－1)·3＝3n－6. ②每一项都可视为2的多少次幂加上1的形式，即an＝2n＋1. ③数列中的每项的绝对值均等于4，只是每次的符号正负相间，这样的问题可以用(－1)的多少次幂进行调整， ∴an＝(－1)n－1·4. ④原数列可变形为＋，－，＋，－，…，故其通项式可写为an＝＋. 【解题心得】　对于给出数列的前几项求数列的一个通项公式一类的问题，常归纳为数列的各项中的有关元素与项数的相互变化规律而求之，观察分析问题的特点是最重要的． 【例2】　(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，求数列{an}的通项公式． (2)若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式． (3)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式． 【自主解答】　(1)由题意，得an＋1－an＝＝－， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(1－)＋2＝3－.(n∈N＋) (2)由题意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋