第五章 第四节 数列求和-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第四节　数列求和 知识点1　公式法 (1)等差数列{an}的前n项和Sn＝__＝na1＋__． 推导方法：__倒序相加法__． (2)等比数列{an}的前n项和Sn＝____ 推导方法：__乘公比，错位相减法__． (3)一些常见的数列的前n项和： ①1＋2＋3＋…＋n＝____； ②2＋4＋6＋…＋2n＝__n(n＋1)__； ③1＋3＋5＋…＋2n－1＝__n2__． 知识点2　几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． [常用结论] 几种常见变形 (1)＝－. (2)＝. (3)等差数列{an}(an≠0)的公差为d(d≠0)，则＝. (4)＝－. 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　　) (2)当n≥2时，＝.(　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　　) (4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝.(　　) 【解析】　(3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1讨论求解． 【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 教材衍化 2．等差数列{an}中，已知公差d＝，且a1＋a3＋…＋a99＝50，则a2＋a4＋…＋a100＝(　　) A．50　 B．75　 C．100　 D．125 【解析】　a2＋a4＋…＋a100＝(a1＋d)＋(a3＋d)＋…＋(a99＋d)＝(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝50＋50×＝75. 【答案】　B 3．数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为(　　) A．2 019 B．2 020 C．2 021 D．2 022 【解析】　由an＝＝－， 得Sn＝＋＋…＋＝. 因此＝，则n＝2 021. 【答案】　C 考题体验 4．(2023·扬州模拟)已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(　　) A．9 B．15 C．18 D．30 【解析】　由题意知{an}是以2为公差的等差数列，又a1＝－5，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18. 【答案】　C 5．(多选题)(2023·泰州调研)已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，设数列{bn}的前n项和Sn，则(　　) A．an＝ B．an＝n C．Sn＝ D．Sn＝ 【解析】　由题意得an＝＋＋…＋＝＝， ∴bn＝＝＝4·， ∴数列{bn}的前n项和Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝4· ＝4·＝.故选AC. 【答案】　AC 【例1】　已知数列{an}的前几项是3＋2－1，6＋22－1，9＋23－1，12＋24－1，写出数列{an}的通项并求其前n项和Sn. 【思路点拨】　 →→→ 【自主解答】　由已知得，数列{an}的通项公式为an＝3n＋2n－1＝3n－1＋2n，(n∈N＋) ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝(2＋5＋…＋3n－1)＋(2＋22＋…＋2n) ＝＋＝n(3n＋1)＋2n＋1－2. 【解题心得】　某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．它是通过对数列通项结构特点的分析研究，将数列分解转化为若干个能求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和的一种求和方法． 【例2】　已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn. (1)求an及Sn； (2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 【自主解答】　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由于a3＝7，a5＋a7＝26， 所以a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2. 由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝， 所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2).(n∈N＋) (2)因为an＝2n＋1，所以a－1＝4n(n＋1)， 因