第五章 第三节 等比数列及其前n项和-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第三节　等比数列及其前n项和 知识点1　等比数列的定义与等比中项 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于__同一常数(不为零)__，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q. (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么__G__叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒__G2＝ab__． 思考：若{an}是首项为1，公比为q的等比数列，那么{an＋an＋1}也是等比数列吗？ 提示：不一定．设bn＝an＋an＋1＝(1＋q)qn－1显然当q＝－1时bn＝0.即{bn}不是等比数列． 知识点2　等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝__a1qn－1__． (2)通项公式的推广：an＝__am·qn－m(n，m∈N*)__． (3)前n项和公式：Sn＝____． 知识点3　等比数列的常用性质 (1)项的性质 ①an＝__amqn－m__． ②若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝__ap·aq__＝a. ③在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为__qk__． (2)和的性质 ①若等比数列{an}有2k(k∈N*)项，则＝__q__． ②公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，__S3n－S2n__仍成等比数列，其公比为__qn__． [常用结论] 1．等比数列与指数型函数的关系 当q>0且q≠1时，an＝·qn可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上； 对于非常数列的等比数列{an}的前n项和Sn＝＝－qn＋，若设a＝，则Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1).由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝－aqx＋a图象上一系列孤立的点． 对于常数列的等比数列，即q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝a1x图象上一系列孤立的点． 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B其中q≠0，且q≠1，AB≠0，则A＝－B是数列{an}为等比数列的充要条件． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数．(　　) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　) (3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　) (4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　) 【解析】　(1)在等比数列中，q≠0. (2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列． (3)当a＝1时，Sn＝na. (4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 教材衍化 2．(2023·陕西商洛·高二统考期末)若公比为－3的等比数列的前2项和为10，则该等比数列的第3项为(　　) A．15 B．－15 C．45 D．－45 【解析】　设该等比数列为{an}，则a1＋a2＝a1－3a1＝－2a1＝10，a1＝－5，所以a3＝(－3)2a1＝－45.故选D. 【答案】　D 3．等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则{an}的通项公式an＝________． 【解析】　因为＝，所以＝－， 因为S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5， 所以q5＝－，解得q＝－，则an＝－. 【答案】　－ 考题体验 4．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　) A．f B．f C．f D．f 【解析】　由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为的等比数列， 设此数列为{an}，则a8＝f， 即第八个单音的频率为f. 【答案】　D 5．(2023·河南焦作·高二统考期末)已知等比数列{an}中，＝8，a6＝32，则a2＝(　　) A．16 B．4 C．2 D．1 【解析】　设等比数列{an}的公比为q，则＝＝q3＝8，解得q＝2，因此，a2＝＝＝2.故选C. 【答案】　C 【例1】　数列{an}的前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，cn＝an－1.