第五章 第二节 等差数列及其前n项和-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第二节　等差数列及其前n项和 知识点1　等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于__同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数就叫做等差数列的__公差__，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数). (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝____，其中A叫做A，b的等差中项． 知识点2　等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝__a1＋(n－1)d__． (2)前n项和公式：Sn＝__na1＋__＝____． 思考：公差d的几何意义是什么？ 提示：公差d的几何意义表示点(1，a1)，…，(n，an)在直线f(x)＝a1－d＋dx上的斜率为d. 知识点3　等差数列的性质 (1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__ak＋al＝am＋an__． (2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为__md__的等差数列． (3)若Sn是等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是__等差__数列． (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是__等差__数列． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0关于n的二次函数．(　　) 【解析】　(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数． (4)若公差d＝0，则前n项和不是n的二次函数． 【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 教材衍化 2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　) A．31　　　　　　　 B．32 C．33 D．34 【解析】　由已知可得 解得∴S8＝8a1＋d＝32. 【答案】　B 3．(2023·江西宜春·高二上高中学校考期中)现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为(　　) A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升 【解析】　设九只茶壶按容积从小到大依次记为 a1，a2，…a9，由题意可得a1＋a2＋a3＝0.5，a7＋a8＋a9＝2.5，所以3a2＝0.5，3a8＝2.5⇒a2＋a8＝1，∴a5＝＝0.5.故选B. 【答案】　B 考题体验 4．(2023·呼和浩特质检)在等差数列{an}中，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则a5＋a6＝(　　) A．10 B．20 C．25 D．30 【解析】　等差数列{an}中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则d＝15－5＝10，因此a5＋a6＝(a3＋a4)＋d＝15＋10＝25. 【答案】　C 5．(多选题)(2023·南京模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0，且＝，则当Sn取最大值时，n的值可能为(　　) A．15 B．16 C．17 D．18 【解析】　不妨设a6＝10t，a5＝11t，则公差d＝－t(t>0)，∴a16＝a6＋10d＝0， a15＝a6＋9d＝t>0，a17＝a6＋11d＝－t<0， 故当n＝15或n＝16时，Sn最大．故选AB. 【答案】　AB 【例1】　在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值． 【自主解答】　由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－. ∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0， ∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13＝0，∴a13＝0. ∵公差d<0，a1>0，∴a1，a2，…，a11，a12均为正数，而a14及以后各项均为负数． ∴当n＝12或13时，Sn有最大值为S12＝S13＝130. 【例2】　已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n. (1)求a2，a3； (2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式． 【思路点拨】　 (1)要求数列的项，可根据已知首项和递推关系式，令n＝可解得． (2)证明是等差数列，其关键应推出－为常数，对所给条件进行必要的变形即可． 【自主解答】　(1)由已知，得a2－2a1＝4， 则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6. 由