第四章 第一节 平面向量的概念及线性运算-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第一节　平面向量的概念及线性运算 知识点1　平面向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有__大小__又有__方向__的量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 平面向量是__自由__向量． 零向量 __长度为0__的向量． 零向量记作__0__，其方向是__任意的__． 单位 向量 长度等于__1个单位长度__的向量． 单位向量记作a0，a0＝± 平行向量 (共线向量) 方向__相同或相反__的非零向量 0与任意向量__共线__． 相等 向量 长度__相等__且方向__相同__的向量． 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量． 相反 向量 长度__相等__且方向__相反__的两个向量． 若a，b为相反向量，则a＝－b. 知识点2　平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算． __三角形__法则 __平行四边形__法则 (1)交换律：a＋b＝__b＋a__； (2)结合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__． 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差． __三角形__法则 a－b＝__a＋(－b)__． 数乘 求实数λ与向量a的积的运算． (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa与a的方向__相同__； 当λ<0时，λa与a的方向__相反__； 当λ＝0时，λa＝__0__． (1)结合律：λ(μa)＝__λμa__＝__μ(λa)__； (2)第一分配律：(λ＋μ)a＝__λa＋μa__； (3)第二分配律：λ(a＋b)＝__λa＋λb__． 知识点3　共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使__b＝λa__． [常用结论] 1．对于任意两个向量a，b，都有：①||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2).当a，b不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系． 2．向量线性运算的常用结论 (1)在△ABC中，若D是BC的中点，则＝(＋)；(2)O为△ABC的重心的充要条件为＋＋＝0；(3)四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则＋＝2. 3．三点共线的条件 A，B，C三点共线，O为A，B，C所在直线外任意一点，则＝λ＋μ且λ＋μ＝1. 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(　　) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　) (3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　) (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　) 【解析】　(2)若b＝0，则a与c不一定平行． (3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上． 【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 教材衍化 2．下列说法正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反 B．若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上 D．若a∥b，则a与b方向相同或相反 【解析】　对于A，由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误；对于B，因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b，故B正确；对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误；对于D，依据规定：0与任意向量平行，故当a＝0时，a与b的方向不一定相同或相反，故D错误．故选B. 【答案】　B 3．设M为△ABC所在平面内一点，且＝3，则(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ 【解析】　由＝3，得＝， 所以＝＋＝＋ ＝＋(＋)＝－＋. 【答案】　A 考题体验 4．(多选题)(2023·济宁月考)下列说法正确的是(　　) A．非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件 B．若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上 C．a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向 D．设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线 【解析】　根据向量的有关概念可知ABC正确，对于D，当λ＝μ＝0时，a与b不一定共线，故D错误． 【答案】　ABC 5．(2023·盐城调研)已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【解析】　由＋＋＝0，得＋＝， 又O为△A