第四章 第四节 复数的概念与运算-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第四节　复数的概念与运算 知识点 1．复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的 概念 设a，b都是实数，形如__a＋bi__的数叫复数，其中实部为a，虚部为b，i叫做虚数单位 a＋bi为实数__b＝0__，a＋bi为虚数，⇔__b≠0__，a＋bi为纯虚数⇔__a＝0且b≠0__ 复数 相等 a＋bi＝c＋di⇔__a＝c且b＝d__(a，b，c，d∈R) 共轭 复数 a＋bi与c＋di共轭⇔__a＝c且b＝－d__(a，b，c，d∈R) 复数a(a为实数)的共轭复数是a 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x轴叫做__实轴__，y轴叫做__虚轴__ 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数 的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z| |z|＝|a＋bi|＝ 2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)向量. 3．复数代数形式的四则运算 (1)运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 运算名称 符号表示 语言叙述 加减法 z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝__(a±c)＋(b±d)i__ 把实部、虚部分别相加减 乘法 z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__ 按照多项式乘法进行，并把i2换成－1 除法 ＝＝ ＝__＋__； (c＋di≠0) 把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算 思考1：复数a＋bi的实部为a，虚部为b.对吗？ 提示：不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部． 思考2：若复数z满足|z|＝1，则z＝±1对吗？ 提示：不对，如z＝＋i的模也是1. 思考3：表示共轭复数的点有怎样的对称性？ 提示：关于实轴对称． [常用结论] 几种重要运算结论 1．(1)(1±i)2＝±2；＝i； ＝－i. (2)－b＋ai＝i(a＋bi). (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*). (4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*). 2．复数加法的运算律 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　) (3)原点是实轴与虚轴的交点．(　　) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　) 【解析】　(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 教材衍化 2．(2023·山西阳泉·高一统考期末)若复数(m2－2m)＋mi是纯虚数，则实数m的值为(　　) A．0 B．2 C．3 D．0或2 【解析】　因为复数(m2－2m)＋mi是纯虚数，所以，解得m＝2.故选B. 【答案】　B 3．已知(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝________． 【解析】　因为z＝＝＝＝2－i，所以z＝2＋i. 【答案】　2＋i 考题体验 4．(2020·北京卷)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，2)，则i·z＝(　　) A．1＋2i B．－2＋i C．1－2i D．－2－i 【解析】　z＝1＋2i，∴i·z＝i(1＋2i)＝－2＋i.故选B. 【答案】　B 5．(多选题)(2023·无锡质检)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，下列四个结论中正确的是(　　) A．αβ＝1 B．＝－i C．＝1 D．α2＋β2＝0 【解析】　A项，αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，故A不正确； B项，＝＝＝＝－i， 故B正确； C项，＝|－i|＝1，故C正确； D项，α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝－2i＋2i＝0，故D正确．故正确的结论为BCD. 【答案】　BCD 【例1】　当实数m为何值时， z＝lg (m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i (1)为实数；(2)为虚数． 【思路点拨】　处理有关复数概念的问题，要找准复数的实部与虚部(若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算化为代数形式)，然后根据定义解题． 【自主解答】　(1)要使z是实数，必须使复数的虚部等于0，实部是一个有意义的实数，故m需要满足，解得m＝－1或m＝－2，故当m＝－1或m＝－2时，z是实数． (2)要使z是虚数，虚部不等于0，实部是一个有意义的实数，故实数m满足，