第四章 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第二节　平面向量的基本定理及坐标表示 知识点1　平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个__不共线__向量，那么对于这一平面内的任意向量a，__有且只有__一对实数λ1，λ2，使a＝__λ1e1＋λ2e2__． 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 知识点2　平面向量的坐标运算 运算 坐标表示 和(差) 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__，a－b＝(x1－x2，y1－y2). 数乘 已知a＝(x1，y1)，则λa＝__(λx1，λy1)__，其中λ是实数 任一向量的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝__(x2－x1，y2－y1)__ 知识点3　平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　) (2)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　　) 【解析】　(1)共线向量不可以作为基底． (3)若b＝(0，0)，则＝无意义． 【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 教材衍化 2．已知＝(1，3)，A(－1，4)，则点B的坐标是(　　) A．(－2，1)　　　　　 B．(7，0) C．(2，－1) D．(0，7) 【解析】　∵＝(1，3)＝(xB＋1，yB－4)，∴xB＋1＝1，yB－4＝3，解得xB＝0，yB＝7，∴点B的坐标是(0，7).故选D. 【答案】　D 3．已知向量a＝(－1，3)，b＝(2，1)，则3a－2b＝(　　) A．(－7，7) B．(－3，－2) C．(6，2) D．(4，－3) 【解析】　3a－2b＝(－3，9)－(4，2)＝(－7，7). 【答案】　A 考题体验 4．(2023·扬州调研)已知向量a＝(m，1)，b＝(3，m－2)，则m＝3是a∥b的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【解析】　∵a＝(m，1)，b＝(3，m－2)， 若a∥b，则m(m－2)－3＝0， 得m＝3或m＝－1， 所以“m＝3”是“a∥b”的充分不必要条件． 【答案】　A 5．(2023·合肥质检)设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为(　　) A． B．(－6，8) C． D．(6，－8) 【解析】　因为向量b与a方向相反，则可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b|＝＝5|λ|＝10， ∴λ＝－2，b＝(6，－8). 【答案】　D 【例1】　已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b. (1)求3a＋b－3c (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)求M、N的坐标及向量的坐标． 【思路点拨】　利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解． 【自主解答】　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8). (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42). (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 (3)∵＝－＝3c. ∴＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20). ∴M(0，20). 又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， ∴N(9，2).∴＝(9，－18). 【解题心得】　向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 【例2】　已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当实数k取何值时ka＋2b与2a－4b平行？平行时它们是同向还是反向？ 【思路点拨】　将ka＋2b，2a－4b用坐标表示，应用共线向量的充要条件求k，把k代入向量判断结果． 【自主解答】　方法一：当ka＋2b与2a－4b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋2b＝λ(2a－4b)， 即ka＋2b＝2λa－4λb，即(k－2λ)a＋(2＋4λ)b＝0. ∵1×2－2×(－3)≠0，∴a不平行于b. 要使(k－2λ)a＋(2＋4λ)b＝0成立． 则即 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b