第三章 第五节 简单的三角恒等变换-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第五节　简单的三角恒等变换 知识点1　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)S(α±β)公式：__sin_(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β__． (2)C(α±β)公式：__cos_(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β__． (3)T(α±β)公式：__tan_(α±β)＝__ (α，β，α±β≠＋kπ，k∈Z). 知识点2　二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)二倍角的降幂公式：cos2α＝____，sin2α＝____． (2)二倍角的升幂公式：1＋cos 2α＝__2cos2α__，1－cos2α＝__2sin2α__． (3)T(α±β)的公式变形； tanα±tan β＝__tan_(α±β)(1∓tan_αtan_β)__； tan αtan β＝__－1__＝__1－__． 思考：如何用sin x、cos x表示tan ？ 提示：tan ＝＝＝＝. [常用结论] 1．公式的常用变式：tan α±tan β＝tan (α±β) (1∓tan αtan β)； tan α·tan β＝1－＝－1. 2．降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α. 3．升幂公式：1＋cos α＝2cos2；1－cosα＝2sin2；1＋sinα＝；1－sin α＝. 4．常用拆角、拼角技巧：例如：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等． 5．辅助角公式：一般地，函数f(α)＝a sin α＋b cos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin (α＋φ)或f(α)＝cos (α－φ).常见形式有sin x＋cos x＝sin ，sin x＋cos x＝2sin ，sin x＋cos x＝2sin . 一、思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (2)对任意角α都有1＋sin α＝.(　　) (3)存在α∈R使tan 2α＝2tan α.(　　) (4)公式tan (α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β))(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　) 【答案】　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．(易错点)已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，则α－β的值为________． 【解析】　∵α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝， ∴cos α＝＝，sinβ＝＝， ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－. 又∵－<α－β<，∴α－β＝－. 【答案】　－ 教材衍化 3．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin ＝(　　) A．－　　　　　 B． C．－ D． 【解析】　因为cos α＝－，α是第三象限的角，所以sin α＝－＝－，所以sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－. 【答案】　C 4．(2023·上海黄浦·高一上海市敬业中学校考期末)在△ABC中，cos A cos B>sin A sin B，则△ABC为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【解析】　因为cos A cos B>sin A sin B，则cos A cos B－sin Asin B＝cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C>0，所以，cos C<0，因为C∈(0，π)，故C为钝角，故△ABC为钝角三角形．故选C. 【答案】　C 考题体验 5．已知函数f(x)＝sin ＋cos . (1)求函数f(x)在区间上的最值； (2)若cos θ＝，θ∈，求f的值． 【解】　(1)由题意得f(x)＝·sin ＋cos ＝×＝－·sin . 因为x∈，所以x－∈， 所以sin ∈， 所以－sin ∈， 即函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－. (2)因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝－，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－， 所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝， 所以f＝－sin ＝－·sin ＝－(sin 2θ－cos 2θ)＝(cos 2θ－sin 2θ) ＝×＝. 【例1】　化简[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·. 【思路点拨】　50°，10°，80°都不是特殊角，但注意到它们的和60°，90°都是特殊角，因此可考虑用和角公式求值．另外正切函弦要化成正、余弦函数． 【自主解答】　原式＝(2sin50°＋sin 10°·)