第三章 第四节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第四节　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)两角和与差的余弦 cos (α＋β)＝__cos_αcos_β－sin_αsin_β__，cos (α－β)＝__cos_αcos_β＋sin_αsin_β__． (2)两角和与差的正弦 sin (α＋β)＝__sin_αcos_β＋cos_αsin_β__，sin (α－β)＝__sin_αcos_β－cos_αsin_β__． (3)两角和与差的正切 tan (α＋β)＝____，tan (α－β)＝____． (α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋，k∈Z) 其变形为：tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝__tan_(α－β)__(1＋tan αtan β). 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝__2sin_αcos_α__； (2)cos 2α＝__cos2α－sin2α__＝__2cos2α－1__＝__1－2sin2α__； (3)tan2α＝____． 3．两角和与差公式的应用总结 (1)应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用． (2)角的变换 在应用两角和与差三角函数公式时，角的变换是最基本的技能，常见的变换有： α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝(2α－β)－(α－β)； α＝[(α＋β)＋(α－β)]；α＝[(β＋α)－(β－α)]； α＋β＝(α＋2β)－β；(－α)＋(＋α)＝等． 【友情提示】　在公式Tα±β中，α、β、α＋β必须使等式两端均有意义，即α、β、α±β都不能取＋kπ(k∈Z).否则，利用诱导公式求解． 4．二倍角公式的应用形式 二倍角公式的正用、逆用、变形应用是公式的三种主要使用方法，特别是二倍角的余弦公式，其变形公式在求值、化简、证明中有广泛的应用．解题时应根据不同的需要，灵活选取不同的形式． 二倍角公式的逆向变换及常见变形有： 1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；1＋cos α＝2cos2； 1－cosα＝2sin2；cos2α＝；sin2α＝. 其中，cos2α＝，sin2α＝称为降幂公式，而把1－cos 2α＝2sin2α，1＋cos2α＝2cos2α称为升幂公式． 【友情提示】　(1)在应用二倍角的正切公式时，应注意α的取值范围，即tanα与tan 2α的值应存在． (2)降幂公式是三角变换中非常重要的变形公式，升幂公式是根式化简时常用的公式． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　) (2)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (3)公式tan (α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　) 【解析】　(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z). 【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 教材衍化 2．已知cos α＝－，α∈，则sin 等于(　　) A．－　 B．　 C．－　 D． 【解析】　∵α∈，且cos α＝－， ∴sin α＝－， ∴sin ＝－×＋×＝－. 【答案】　C 3．(2023·广东省肇庆市高一下学期期末)函数f(x)＝sin x cos x的最小正周期为(　　) A．π B．π C．2π D．4π 【解析】　因为f(x)＝sin x cos x＝sin 2x，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.故选B. 【答案】　B 考题体验 4．(2020·全国Ⅱ卷)若sin x＝－，则cos 2x＝________． 【解析】　因为sin x＝－，所以cos 2x＝1－2sin2x＝. 【答案】　 5．(2020·江苏卷)已知sin2＝，则sin2α的值是________． 【解析】　因为sin2＝，所以＝，即＝，所以sin 2α＝. 【答案】　 6．(2023·全国大联考)已知cos －sin α＝，则sin ＝________． 【解析】　由cos －sin α＝cos α－sin α－sin α＝cos α－sin α＝ ＝cos ＝sin ＝， 得sin ＝. sin ＝－sin ＝－sin ＝－. 【答案】　－ 【例1】　化简sin2(α－)＋sin2(α＋)－sin2α. 【