第三章第三节 三角函数的图象和性质-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第三节　三角函数的图象和性质 知识点　三角函数的图象与性质 三角函数 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 正切函数y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x∈R，x≠kπ＋，k∈Z} 值域 [－1，1] [－1，1] R 奇偶性 __奇__函数 __偶__函数 __奇__函数 单调性 在____(k∈Z)上是递增函数，在__(k∈Z)__上是递减函数 在__[2kπ－π，2kπ](k∈Z)__上是递增函数，在__[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)__上是递减函数 在__(k∈Z)__上是递增函数 周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是__2π__． 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是__2π__． 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是__π__． 对称性 对称轴方程是__x＝＋kπ(k∈Z)__，对称中心是__(kπ，0)(k∈Z)__． 对称轴方程是__x＝kπ(k∈Z)__，对称中心是__(k∈Z)__． 对称中心是__(k∈Z)__． [常用结论] 1．对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性 若f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则： (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z). (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z). 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴．(　　) (2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　) (3)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　) (4)y＝sin |x|是偶函数．(　　) 【解析】　(1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条． (2)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数． (3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1. 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 教材衍化 2．(2023·重庆长寿·高二统考期末)下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝ex D．y＝ln x 【解析】　A选项，y＝sin x是奇函数，A选项错误．B选项，y＝cos x是偶函数，B选项正确．C选项，y＝ex是非奇非偶函数，C选项错误．D选项，y＝ln x是非奇非偶函数，D选项错误．故选B. 【答案】　B 3．(2023·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末)tan 2 023°________ tan 53°.(用“>”、“<”或“＝”填空) 【解析】　因为tan 2 023°＝tan (11×180°＋43°)＝tan 43°，当0°<α<90°时，tan α随着α的增大而增大，因为0°<43°<53°<90°，故tan 2 023°＝tan 43°<tan 53°.故答案为<. 【答案】　< 考题体验 4．(2019·全国Ⅱ卷)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　) A．2 B． C．1 D． 【解析】　由题意及函数y＝sin ωx的图象和性质可知， T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.故选A. 【答案】　A 5．(多选题)(2023·山东新高考模拟)已知函数f(x)＝sin (x∈R)，下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)在区间上是增函数 C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D．函数f(x)是奇函数 【解析】　由题意可得f(x)＝－cos x， 对于选项A，最小正周期T＝＝2π，所以选项A正确； 对于选项B，y＝cos x在上是减函数，所以函数f(x)在区间上是增函数，所以选项B正确； 对于选项C，f(－x)＝－cos (－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝0对称，所以选项C正确，选项D错误．故选ABC. 【答案】　ABC 【例1】　求下列函数的定义域： (1)y＝lg (2sin x－1)＋； 【思路点拨】　求定义域即求使式子有意义的自变量x的取值范围，可借助函数图象来求． 【自主解答】　(1)要使原函数有意义，必须有： 即 由图知，原函数的定义域为：[2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z). (2)要使函数有意义 则 ∴函数定义域是{x|0＜x＜或π≤x≤4}． 【解题心得】　(1)求三角函数的