第三章 第七节 正弦定理和余弦定理-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第七节　正弦定理和余弦定理 知识点1　正弦定理与余弦定理 (1)正弦定理的常见变形 ①a＝__2R_sin_A__，b＝__2R_sin_B__，c＝__2R_sin_C__； ②a∶b∶c＝__sin_A∶sin_B∶sin_C__； ③a sin B＝__b_sin_A__，b sin C＝__c_sin_B__，a sin C＝__c_sin_A__ (2)余弦定理的常见变形 ①cos A＝____；②cos B＝____；③cos C＝____． 思考1：在三角形ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的什么条件？“A>B”是“cos A<cos B”的什么条件？ 提示：在三角形ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，“A>B”是“cos A<cos B”的充要条件． 思考2：在三角形ABC中，“a2＋b2<c2”是“△ABC为钝角三角形”的什么条件？“a2＋b2>c2”是“△ABC为锐角三角形”的什么条件？ 提示：“a2＋b2<c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件，“a2＋b2>c2”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件． 知识点2　三角形的面积公式 (1)S＝__a·ha(ha表示a边上的高)__． (2)S＝__ab_sin_C__＝__ac_sin_B__＝__bc_sin_A__． [常用结论] 1．在△ABC中，内角A，B，C成等差数列⇔B＝，A＋C＝. 2．若△ABC不是直角三角形，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C． 3．在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B． 4．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　) (2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　) (4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形．(　　) 【解析】　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比． (3)已知三角时，不可求三边． (4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形． 【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 教材衍化 2．在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则cos B＝(　　) A． B． C． D． 【解析】　由余弦定理知cos B＝＝. 【答案】　A 3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝(　　) A． B． C． D． 【解析】　由题可知S△ABC＝ab sin C＝，所以a2＋b2－c2＝2ab sin C，由余弦定理a2＋b2－c2＝2ab cos C，所以sin C＝cos C，tan C＝1.∵C∈，∴C＝.故选C. 【答案】　C 考题体验 4．(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　) A． B． C． D． 【解析】　因为a2＋b2－c2＝2ab cos C， 且S△ABC＝， 所以S△ABC＝＝ab sin C，所以tan C＝1. 又C∈(0，π)，故C＝. 【答案】　C 5．(2019·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos ∠ABD＝________． 【解析】　如图，易知sin ∠C＝， cos ∠C＝. 在△BDC中，由正弦定理可得 ＝， ∴BD＝＝＝. 由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°， 可得cos ∠ABD＝cos (90°－∠CBD)＝sin ∠CBD ＝sin [π－(∠C＋∠BDC)] ＝sin (∠C＋∠BDC) ＝sin ∠C·cos ∠BDC＋cos ∠C·sin ∠BDC ＝×＋×＝. 【答案】　　 【例1】　(1)△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求b； (2)△ABC中，B＝30°，b＝4，c＝8，求C、A、a. 【思路点拨】　直接利用正弦定理和三角形内角和定理求解，考查正弦定理的直接应用． 【自主解答】　(1)由正弦定理得＝. ∵B＝60°，C＝75°，∴A＝45°， ∴b＝＝＝4. (2)由正弦定理得sin C＝＝＝1. 又∵30°＜C＜150°，∴C＝90°. ∴A＝180°－(B＋C)＝60