第三章 第六节 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象和性质-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第六节　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象和性质 知识点1　“五点法”作y＝A sin (ωx＋φ)的图象 用“五点法”作图如下表所示： x ____ ____ ____ ____ ____ ωx＋φ __0__ ____ __π__ ____ __2π__ y＝ A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 思考：“五点法”作图时，五个关键点的横坐标之间有什么关系？ 提示：“五点法”作图时，相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的. 知识点2　函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ≠0)的图象的步骤 [常用结论] 1．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的主要性质 (1)奇偶性：f(x)为偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z). f(x)为奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z). (2)单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，(k∈Z)得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调递减区间． (3)对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx0＋φ＝kπ(k∈Z)，求得对称中心为(x0，B). 利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx0＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求得其对称轴为x＝x0. 2．周期与对称性之间的关系 (1)函数y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)图象相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期． (2)函数y＝A tan (ωx＋φ)的图象相邻两对称中心之间的距离是周期． 3．对称轴(对称中心)与函数值的关系 在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y＝f(x)＝A sin (ωx＋φ)，g(x)＝A cos (ωx＋φ)，x＝x0是对称轴方程⇔f(x0)＝±A，g(x0)＝±A；(x0，0)是对称中心⇔f(x0)＝0，g(x0)＝0. 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin .(　　) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　) (3)函数y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　) (4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．(　　) 【解析】　(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x. (2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 教材衍化 2．为了得到函数y＝sin 的图象，只需把函数y＝sin 2x图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【解析】　因为y＝sin ＝sin 2，所以要得到其图象，需把y＝sin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度． 【答案】　C 3．如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b.则这段曲线的函数解析式为____________________． 【解析】　观察图象可知从8～14时的图象是y＝A sin (ωx＋φ)＋b的半个周期的图象， ∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40. ∵×＝14－8，∴ω＝， ∴y＝10sin ＋40. 将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝. ∴所求解析式为y＝10sin ＋40，x∈[8，14]. 【答案】　y＝10sin ＋40，x∈[8，14] 考题体验 4．(2020·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝cos 在[－π，π]的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为(　　) A． B． C． D． 【解析】　由题图知，f＝0且f(－π)<0，f(0)>0， 所以－ω＋＝－(ω>0)，解得ω＝， 所以f(x)的最小正周期为T＝＝.故选C. 【答案】　C 5．(2023·盐城调研)函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象如图所示，则f(x)在区间[－π，π]上的零点之和为________． 【解析】　由题图可得＝·＝－，解得ω＝2. ∴f(x)＝sin (2x＋φ).把代入得1＝sin ， ∵|φ|<，∴φ＝，故f(x)＝sin . ∵x∈[－π，π]，∴2x＋∈， 则f(x)共有4个零点，不妨设为a