第三章 第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第二节　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 知识点1　同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系：tanα＝. 知识点2　三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α － － 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 [常用结论] 1．若α∈，则tan α>α>sin α. 2．同角三角函数的基本关系的几种变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α. (3)sin2α＝＝. cos2α＝＝. 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　) (3)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　) (4)若sin (kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　) 【解析】　(1)对任意的角α，sin2α＋cos2α＝1. (2)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y轴上时，商数关系不成立． (4)当k为奇数时，sin α＝， 当k为偶数时，sin α＝－. 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 教材衍化 2．(2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试)若sin (π－α)＝，则cos ＝(　　) A．－ B．－ C． D．± 【解析】　依题意，sin (π－α)＝sin α＝，cos ＝－sin α＝－.故选A. 【答案】　A 3．(多选题)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　) A．sin (－x)＝sin x B．sin ＝cos x C．cos ＝－sin x D．cos (x－π)＝－cos x 【解析】　sin (－x)＝－sin x，故A不成立； sin ＝－cos x，故B不成立； cos ＝－sin x，故C成立； cos (x－π)＝－cos x，故D成立． 【答案】　CD 考题体验 4．(2023·重庆质检)cos 480°＝(　　) A．－　 B．　 C．－　 D． 【解析】　由诱导公式可得cos 480°＝cos(540°－60°)＝ cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－.故选A. 【答案】　A 5．(2023·盐城模拟)已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos (2α＋π)＝(　　) A． B．－ C．－ D． 【解析】　由题意得cos α＝＝－， 所以cos (2α＋π)＝－cos 2α＝1－2cos2α＝－.故选B. 【答案】　B 【例1】　化简 ，k∈Z. 【思路点拨】　化简时注意观察题设中的角出现了kπ，需讨论k是奇数还是偶数． 【自主解答】　当k为偶数时，记k＝2n(n∈Z)， 原式＝ ＝＝＝－1； 当k为奇数时，记k＝2n＋1(n∈Z)， 原式＝ ＝＝＝－1. 综上，原式＝－1. 【解题心得】　用诱导公式化简三角表达式一般多从正面直接应用公式进行化简，在此种情况下最容易出错的地方是三角函数的符号，为此需要牢记诱导公式，可通过“函数名不变，符号看象限”这一简便记法理解记忆． 【例2】　已知sin (θ＋kπ)＝－2cos (θ＋kπ)，k∈Z 求：(1)；(2)sin2θ＋cos2θ. 【思路点拨】　此类题目的一般做法是：化简已知条件，把化简得到的三角函数式用已知表示，然后代入已知求解． 【自主解答】　由已知得cos(θ＋kπ)≠0.∴tan (θ＋kπ)＝－2，k∈Z， 即tan θ＝－2. (1)＝＝10. (2)sin2θ＋cos2θ＝ ＝＝. 【解题心得】　已知tanα的值，求形如a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α的值，可将1＝sin2α＋cos2α代入，转化为关于tanα的函数后再求值． 【例3】　已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　) A． B．± C．－ D．－ 【思路点拨】　本题首先利用sin θcos 来求 cos θ－sin θ的平方后根据角的范围确定符号． 【自主解答】　因为sin αcos α＝，所以(cos α－sin α)