第三章第八节 正弦定理和余弦定理的应用举例-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第八节　正弦定理和余弦定理的应用举例 知识点　解三角形的实际应用 (1)有关测量中的常用术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线__上方__的叫作仰角，目标视线在水平视线__下方__的叫做俯角． 方位 角 从某点的指北方向线起按__顺时针__方向到目标方向线之间的夹角叫作方位角．方位角的范围是[0°，360°). 方向 角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α. [注意]　区分两种角 (1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角． (2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角． (2)解三角形实际问题的一般步骤 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向．(　　) (2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　) (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　) 【解析】　(2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角． 【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 教材衍化 2．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　) A．50 m　　　　 B．50 m C．25 m D． m 【解析】　在△ABC中，由正弦定理得 ＝， 又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°， ∴AB＝＝＝50(m). 【答案】　A 3．如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB＝__________． 【解析】　由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝a，所以Rt△ADB中，AB＝AD＝a. 【答案】　a 考题体验 4. (2023·东营月考)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80° 【解析】　由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°， 又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°， 所以∠DBA＝10°， 因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°. 【答案】　D 5. 如图，一座建筑物AB的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°，60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为(　　) A．30 m B．60 m C．30 m D．40 m 【解析】　作AE⊥CD，垂足为E，则在△AMC中，AM＝＝20，∠AMC＝105°，∠ACM＝30°，∴＝，∴AC＝60＋20，∴CD＝30－10＋AC sin 30°＝60(m).故选B. 【答案】　B 【例1】　江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角(炮台底部与船只在同一个水平面上)，求两条船相距多少米． 【思路点拨】　本题的关键是画出图形，将已知的角度与距离抽象到具体的三角形中． 【自主解答】　 根据题意作图，A、B为两条小船所在的位置，OP为炮台所在的位置，P为观测点． 则由题意可知：OP＝30 m，∠AOB＝30°， 由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°， 可知∠APO＝60°，∠BPO＝45°. 由炮台底部与船只在同一水平面上， 可知OP⊥面AOB. 由Rt△APO和Rt△BPO中的相关运算以及余弦定理，求得AB的长． 在Rt△APO中，由OP＝30，∠APO＝60°，可得AO＝30； 在Rt△BPO中，由OP＝30，∠BPO＝45°，可得BO＝30. 在△ABO中，已知AO＝30，BO＝30，∠AOB＝30°， 由余弦定理得 AB＝＝30. 故AB＝30 m． 【解题心得】　本题通过对问题的解决，试图让学生能够运用所学知识来解决实际生活中的问题，通过分析，建立数学模型，再加以解决． 【例2】　某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高． 【思路点拨】　依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，