第三章 第一节 任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第一节　任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数 知识点1　角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着__端点__从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合__S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}__． 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 知识点2　弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于__半径长__的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 l＝__|α|r__ 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 知识点3　任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝__y__，cos α＝__x__，tan α＝____(x≠0). (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线． [常用结论] 1．一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．三角函数定义的推广 设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0). 3．象限角 4．轴线角 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角．(　　) (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　　) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) 【解析】　(1)锐角的取值范围是. (2)第一象限角不一定是锐角． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 教材衍化 2．(2023·广东·高一统考期末)已知角α的终边经过点P，则cos α－sin α的值为(　　) A．　　　　　 B．－ C． D．－ 【解析】　由题意可知：cos α＝，sin α＝－，所以cos α－sin α＝＋＝.故选C. 【答案】　C 3．在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________． 【解析】　所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z). 解得k＝－2或k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°. 【答案】　{－675°，－315°} 考题体验 4．(多选题)(2023·武汉调研)关于角度，下列说法正确的是(　　) A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B．钝角大于锐角 C．三角形的内角必是第一或第二象限角 D．若α是第二象限角，则是第一或第三象限角 【解析】　对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误； 对于B，钝角一定大于锐角，显然正确； 对于C，若三角形的内角为90°，则是终边在y轴正半轴上的角，故错误； 对于D，∵角α的终边在第二象限， ∴2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z， ∴kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z. 当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋＜＜2nπ＋，n∈Z，得是第一象限角； 当k＝2n＋1，n∈Z时，(2n＋1)π＋＜＜(2n＋1)π＋，n∈Z，得是第三象限角，故正确． 【答案】　BD 5．(2023·菏泽质检)密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周分成6 000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于________rad. 【解析】　∵周角为2π rad， ∴1密位＝＝(rad)， ∴60密位＝·60＝(rad). 【答案】　 【例1】　(1)写出终边在直线y＝x上的角的集合； (2)已知α是第二象限角，求所在的象限． (3)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为____________． 【思路点拨】　(1)分角的终边在第一象限和第三象限讨论． (2)根据象限角的定义先写出第三象限角，再写的范围，最后确定所在象限． (3)注意边界线的虚实． 【自主解答】　(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋，k∈Z}，当角的终边在第三象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋