第七章 第一节 直线的方程-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第一节　直线的方程 知识点1　直线的倾斜角与斜率 (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l__向上方向__之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴__平行或重合__时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l的倾斜角的范围是__[0，π)__． (3)直线的斜率 条件 公式 直线的倾斜角θ，且θ≠90° k＝__tan_θ__ 直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2 k＝____ 思考1：所有直线都有斜率吗？ 提示：直线都有倾斜角，但不一定都有斜率． 思考2：倾斜角越大，其斜率越大吗？ 提示：不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k＝tan α，当α∈时，α越大，斜率k就越大，同样α∈时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠时就不是了． 知识点2　直线方程的几种形式 直线方程的五种形式 名称 方程形式 适用条件 点斜式 __y－y0＝k(x－x0)__ 不能表示__斜率不存在__的直线 斜截式 y＝kx＋b 两点式 ＝ 不能表示__平行于坐标轴__的直线 截距式 ＋＝1 不能表示__平行于坐标轴__的直线和__过原点__的直线 一般式 __Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)__ 可以表示所有类型的直线 思考：直线y－y0＝k(x－x0)在两个轴上的截距是多少？ 提示：当k＝0时，在y轴上的截距为y0，在x轴上无截距． 当k≠0时，在y轴上的截距为y0－kx0，在x轴上的截距为x0－. 知识点3　两条直线平行与垂直的判定 条件 两直线位置关系 斜率的关系 两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2 平行 __k1＝k2__ k1与k2都不存在 垂直 __k1k2＝－1__ k1与k2一个为零，另一个不存在 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　) 【解析】　(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2. (2)当直线斜率为tan (－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 教材衍化 2．若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为____________． 【解析】　由题意得＝12，解得m＝－2， ∴A(2，6)， ∴直线AB的方程为y－6＝12(x－2)， 整理得12x－y－18＝0. 【答案】　12x－y－18＝0 3．若方程Ax＋By＋C＝0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是____________． 【解析】　由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A≠0且B≠0. 【答案】　A≠0且B≠0 考题体验 4．(2023·衡水模拟)直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 【解析】　由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tan α＝－，又α∈[0，π)，所以α＝. 【答案】　D 5．(2023·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末)若直线l1：ax＋3y＋2＝0与直线l2：x－(a＋1)y＋a＝0垂直，则实数a＝(　　) A．0 B．1 C．－ D．－ 【解析】　直线l1：ax＋3y＋2＝0与直线l2：x－(a＋1)y＋a＝0垂直，则a－3(a＋1)＝0，解得a＝－.故选D. 【答案】　D 【例1】　直线x＋y sin α－3＝0(α∈R)的倾斜角的取值范围是________． 【思路点拨】　解答本题：先确定斜率的范围，再求倾斜角的范围． 【自主解答】　若sin α＝0，则直线的倾斜角为 ； 若sin α≠0，则直线的斜率k＝－ ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，设直线的倾斜角为θ，则tan θ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故θ∈[，)∪(，]，综上可得直线的倾斜角的取值范围是[，]. 【答案】　[，] 【解题心得】　倾斜角和斜率的关系 (1)斜率k是一个实数，每条直线存在惟一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α. (2)在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tan α的单调性，当α由0增大到(α≠)时，k由0