第七章 第五节 椭圆-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第五节　椭　圆 知识点1　椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__． (2)椭圆定义的数学表达式为__|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|__，即对于定点F1，F2，椭圆上的点P满足此关系式，反之亦然． 思考：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.M点轨迹为椭圆吗？ 提示：①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 知识点2　椭圆的标准方程及几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 一般 方程 Ax2＋By2＝1 (A>0，B>0，A≠B) 图形 焦点 坐标 __F1(－c，0)，F2(c，0)__ __F1(0，－c)，F2(0，c)__ 顶点 坐标 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 长轴 长轴A1A2＝2a，a是长半轴的长 短轴 短轴B1B2＝2b，b是短半轴的长 焦距 焦距F1F2＝2c，c是半焦距 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a 离心率 e＝__＝___(0＜e＜1)越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越圆 [常用结论] 1．如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝，称为通径． 2．椭圆＋＝1与＋＝k(其中a>b>0，k>0)有相同的离心率． 3．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值． 4．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|＝ ＝ ，如果AB中点为M(x0，y0)，则kAB＝－(y0≠0). 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　) (3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　) (4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　) 【解析】　(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形． (2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 教材衍化 2．若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是______________． 【解析】　因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1. 【答案】　＋＝1 3．(2023·河南开封·高二统考期末)直线mx＋y＝0(m∈R)与椭圆＋＝1交于A，B两点，则A，B与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为(　　) A．10 B．16 C．20 D．不能确定 【解析】　设椭圆两个焦点为F1，F2，由题可得a＝5，则A，B与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为|AF1|＋|F1B|＋|BF2|＋|F2A|＝4a＝20.故选C. 【答案】　C 考题体验 4．(2023·新高考8省联考)椭圆＋＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m等于(　　) A．1　　　　　　　　 B． C． D．2 【解析】　a2＝m2＋1，b2＝m2， 则c2＝a2－b2＝1，由题意知b＝c， 则b2＝3c2＝3＝m2， 又m>0，则m＝. 【答案】　C 5．(多选题)(2023·南通调研)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是(　　) A．椭圆C的方程为＋x2＝1 B．椭圆C的方程为＋y2＝1 C．|PQ|＝ D．△PF2Q的周长为4 【解析】　由已知得，2b＝2，b＝1，＝， 又a2＝b2＋c2，解得a2＝3. ∴椭圆方程为x2＋＝1. 如图． ∴|PQ|＝＝＝， △PF2Q的周长为4a＝4.故选ACD. 【答案】　ACD 【例1】　求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A(2，－6)； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的