第七章 第四节 直线与圆 圆与圆的位置关系-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第四节　直线与圆　圆与圆的位置关系 知识点1　直线与圆的位置关系与判断方法 方法 过程 依据 结论 代数法 联立方程组消去x(或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac Δ>0 __相交__ Δ＝0 __相切__ Δ<0 __相离__ 几何法 计算圆心到直线的距离d，比较d与半径r的关系．相交时弦长为2 d<r __相交__ d＝r __相切__ d>r __相离__ 知识点2　圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0) 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 　　方法 位置关系　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 __无解__ 外切 d＝r1＋r2 __一组实数解__ 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 __两组不同的实数解__ 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) __一组实数解__ 内含 0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) __无解__ 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　　) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　) (4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　　) 【解析】　(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 教材衍化 2．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________． 【解析】　由x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝.又圆心(1，2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝＝，由＝r2－d2，得|AB|2＝10，即|AB|＝. 【答案】　 3．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________． 【解析】　由得两圆公共弦所在直线方程x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所求弦长为2. 【答案】　2 考题体验 4．(2023·菏泽模拟)若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，1) B．(0，1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．a＝±1 【解析】　因为点(1，1)在圆的内部， 所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1. 【答案】　A 5．(2023·广东江门·高二统考期末)若直线x－y＋3＝0与圆x2＋y2－2x＋2－a＝0相切，则a＝(　　) A．9　　 B．8　　 C．7　　 D．6 【解析】　圆(x－1)2＋y2＝a－1(a>1)的圆心(1，0)，半径，依题意得，＝，解得a＝9，所以a＝9.故选A. 【答案】　A 【例1】　已知圆C：x2＋y2＝8及定点A(4，0)，问过A点的直线l的倾斜角在什么范围内取值时，直线l与圆C相交？相切？相离？并求出切线方程． 【思路点拨】　根据圆心到直线的距离与半径的大小关系来判定直线与圆的位置关系． 【自主解答】　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时直线l与圆C相离，直线l的倾斜角为90°； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－4)，则当＜2⇒－1＜k＜1时，直线l与圆C相交，此时直线l的倾斜角为[0°，45°)或(135°，180°)； 当＝2⇒k＝±1时，直线l与圆C相切， 此时直线l的倾斜角为45°或135°，切线方程为x－y－4＝0或x＋y－4＝0； 当＞2⇒k＞1或k＜－1时，直线l与圆C相离，此时直线l的倾斜角为(45°，135°)(因为倾斜角为90°时也相离). 【解题心得】　用几何法判定直线与圆的位置关系的主要步骤是： ①把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径R. ②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d. ③判断：当d＞R时，直线与圆相离；当d＝R时，直线与圆相切；当d＜R时，直线与圆相交． 【例2】　已知：过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：·为定值； (3)若