第七章 第三节 圆的方程-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第三节　圆的方程 知识点1　圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C：(a，b) 半径：r 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 圆心：____ 半径：r＝ 思考：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是什么？ 提示：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，且D2＋E2－4AF>0. 知识点2　点与圆的位置关系 (1)理论依据：__点__与__圆心__的距离与半径的大小关系． (2)三种情况 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)， ①(x0－a)2＋(y0－b2)__＝__r2⇔点在圆上；②(x0－a2)＋(y0－b)2__>__r2⇔点在圆外；③(x0－a)2＋(y0－b)2__<__r2⇔点在圆内． 思考：点M(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的关系如何确定？ 提示：若x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0⇔点在圆上；若x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0⇔点在圆外；若x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0⇔点在圆内． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　) (2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．(　　) (3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(　　) (4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　) 【解析】　(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆． (3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜或m＞1时表示圆． 【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 教材衍化 2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　) A．(2，3)，3　　　　 B．(－2，3)， C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)， 【解析】　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝. 【答案】　D 3．(2023·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末)在平面直角坐标系xOy中，已知P1(0，2)、P2(4，4)两点，若圆M以P1P2为直径，则圆M的标准方程为(　　) A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y－3)2＝ C．(x－1)2＋(y－4)2＝5 D．(x－1)2＋(y－4)2＝ 【解析】　由题意可知，圆心M的横坐标为＝2，纵坐标为＝3，即点M(2，3)，圆M的半径为|MP1|＝＝，因此，圆M的标准方程为(x－2)2＋(y－3)2＝5.故选A. 【答案】　A 考题体验 4．(多选题)(2023·济南调研)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法正确的是(　　) A．圆M的圆心为(4，－3) B．圆M被x轴截得的弦长为10 C．圆M的半径为5 D．圆M被y轴截得的弦长为6 【解析】　由圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，故圆心为(4，－3)，半径为5，则AC正确；令x＝0，得y＝0或y＝－6，弦长为6，故D正确；令y＝0，得x＝0或x＝8，弦长为8，故B错误． 【答案】　ACD 5．(2023·淮安模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________． 【解析】　由题意知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12. 【答案】　12 【例1】　根据下列条件求圆的方程： (1)经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上； (2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)； (3)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2). 【思路点拨】　直接法或待定系数法． 【自主解答】　(1)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2， 由题意列出方程组 解之得 ∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. (2)方法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2， 则有 解得a＝1，b＝－4，R＝2， ∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋