第七章 第七节 抛物线-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第七节　抛物线 知识点1　抛物线的定义 平面内到一定点F和定直线l(F∉l)__距离相等__的点的轨迹叫做抛物线，__定点F__叫做抛物线的焦点，__定直线l__叫做抛物线的准线． 思考：在抛物线的定义中，若F∈l时，动点的轨迹怎样？ 提示：当定点在定直线上时，轨迹为过定点F且与定直线l垂直的一条直线． 知识点2　抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 __O(0，0)__ 对称轴 __y＝0(x轴)__ __x＝0(y轴)__ 焦点 F____ F____ F____ F____ 离心率 e＝1 准线方程 __x＝－__ __x＝__ __y＝－__ __y＝__ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径(其中 P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　) (4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　　) 【解析】　(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线． (2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是y＝－. (3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形． (4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 教材衍化 2．(2023·高二单元测试)已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M的纵坐标为－4 ，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝－16x B．y2＝8x或y2＝4x C．y2＝－8x D．y2＝16x或y2＝8x 【解析】　因为抛物线的准线方程是x＝－，而点M到准线的距离为6，所以点M的横坐标是6－.所以点M的坐标为，又因为点M在抛物线上，所以32＝2p，解得p＝8或p＝4，故该抛物线的标准方程为y2＝16x或y2＝8x.故选D. 【答案】　D 3．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________． 【解析】　设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±2.故满足条件的点的个数为2. 【答案】　2 考题体验 4．(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　) A．2　　　　　　　 B．3 C．6 D．9 【解析】　设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋＝12. 又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9， 所以9＋＝12，解得p＝6.故选C. 【答案】　C 5．(2020·北京卷)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线(　　) A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP 【解析】　不妨设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，P(x0，y0)(x0>0)，则Q，F，直线FQ的斜率为，从而线段FQ的垂直平分线的斜率为，又线段FQ的中点为，所以线段FQ的垂直平分线的方程为y－＝(x－0)，即2px－2y0y＋y＝0，将点P的横坐标代入，得2px0－2y0y＋y＝0，又2px0＝y，所以y＝y0，所以点P在线段FQ的垂直平分线上．故选B. 【答案】　B 【例1】　求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(－3，2)； (2)焦点在直线x－2y－4＝0上． 【思路点拨】　从方程形式上看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论． 【自主解答】　(1)设所求的抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p＞0)，因为过点(－3，2)， 所以4＝－2p(－3)或9＝2p·2.所以p＝或p＝. 所以所求的抛物线