第七章 第六节 双曲线-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第六节　双曲线 知识点1　双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做__焦距__． (2)双曲线的定义的数学表达式： ||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a<|F1F2|. 思考1：当|MF1|－|MF2|＝2a时，轨迹是什么曲线？ 提示：当|MF1|－|MF2|＝2a时，轨迹为焦点F2所对应的双曲线的一支． 思考2：当|MF1|－|MF2|＝－2a时，轨迹是什么曲线？ 提示：当|MF1|－|MF2|＝－2a时，轨迹为焦点F1所对应的双曲线的一支． 思考3：当2a＝|F1F2|时，轨迹是什么曲线？ 提示：当2a＝|F1F2|时，轨迹为分别以F1、F2为端点的两条射线． 思考4：当2a>|F1F2|时，动点轨迹是什么？ 提示：当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在． 知识点2　双曲线的标准方程及性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 一般方程 mx2＋ny2＝1(mn＜0) 几何性质 范围 __x≥a，y∈R__ __|y|≥a，x∈R__ 焦点 __F1(－c，0)，F2(c，0)__ __F1(0，－c)，F2(0，c)__ 顶点 __A1(－a，0)，A2(a，0)__ __A1(0，－a)，A2(0，a)__ 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称 实、虚 轴长 线段A1A2叫做曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b(a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长) 焦距 焦距|F1F2|为2c，c是半焦距 离心率 e＝__＝___(e>1) 渐近线 方程 y＝±x y＝±x 知识点3　等轴双曲线及性质 (1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0). (2)等轴双曲线：离心率e＝，两条渐近线y＝±x相互垂直． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　) (2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(　　) (3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　) (4)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是±＝0.(　　) (5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1.(　　) 【解析】　(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线． (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部． (3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 教材衍化 2．(2023·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点．若＝，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A．3x±2y＝0 B．2x±3y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 【解析】　设双曲线C的半焦距为c(c>0).由题可知|F1F2|＝2c，|PF1|－|PF2|＝2a，则＝＝，所以＝＝，所以＝，所以C的渐近线方程为x±2y＝0.故选C. 【答案】　C 3．已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________． 【解析】　设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到同侧焦点的距离的最小值为c－a＝－1，故|PF2|＝6. 【答案】　6 考题体验 4．(2020·全国 Ⅰ 卷)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　) A．　　 B．3　　 C．　　 D．2 【解析】　法一　 由题知a＝1，b＝，c＝2， F1(－2，0)，F2(2，0)， 如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16. 由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，所以|PF1||PF2|