第3章 圆锥曲线的方程 单元复习归纳-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第三章圆锥曲线的方程通 单元复习归纳 IIIIIIIII1 知识体系构建 IIII 定义：{M MF1+MF2=2a(2a>F1F2)》 标 寒支至x:人 =1a>b>0),62=a2-c2 统一形式：Ax2+ 62 方程 By2=1(A>0, 椭圆 焦点在y轴上，之十 =1(a>b>0),b2=a2 -C B>0,A≠B) 简单几何性质 直线与椭圆的位置关系 定义：{MMF1-MF2=2a(0<2a<F1F2)》 y2 标 焦点在x轴上导 =1(a>0,b>0),b2=c2-a2 锥曲线的方程 统一形式：Ax2+ 双曲线 焦点在y轴上 6=1(a>0,b>0),b2=c2- By2=1(AB<0) 简单几何性质 直线与双曲线的位置关系 定义：{MMF=d,其中d表示点M到定直线l的距离，F￠l) 焦点在 开口向右：y2=2px(力>0) 统一形式：y2=mx(m≠0) 标准方 x轴上 开口向左：y2=一2px(p>0) 焦点在 开口向上：x2=2y(p>0) 抛物线 统一形式：x2=ny(n≠0) y轴上 开口向下：x2=-2y(p>0) 简单几何性质 直线与抛物线的位置关系 高考创新题型 例①[创新探究](2026·甘肃白 设P(xo,yo)在C上，则( 银统考)（多选）椭圆具有对称美，受到 设计师的青睐.现有一工艺品，其图案 的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆” 组成（如图）.在平面直角坐标系Oxy中，将标 A.C的长轴长为2√2 准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角 B.C的焦距为4 度，即得“斜椭圆”.已知“斜椭圆”C的方程为 C.若∠F1PF2=90°，则△PF1F2的面积 x2+xy十y2=3,其左、右焦点分别为F1,F2,为2 157 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA。 D.2≤x6十y≤6 B.曲线C与y轴有三个交点 解析设C的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c, C.lxo|≥|yo 由方程x2十xy十y2=3可知，曲线C关于直线 y=x与y=一x对称，且关于原点对称，故C的中心 ni∈号 为O,顶点为C与直线y=x,y=一x的交点。 解析当m=3时，C过坐标原点O,所以0十a· 由+y+y2=3, x2=3,即x=土√3， 10一a=9,所以a2|=9,所以a=3,故A正确.设 y=一x Q(x,y)是曲线C上任意一点，则√(x十3)2+y2· 所以曲线C的其中2个顶，点为A(√3，一3)， √(x-3)2+y2=9,化简得(x2+y2)2=18(x2-y2), B(-5,3) 当x=0时，y4=-18y2,只有一解y=0,故B错误. ,x2+xy+y2=3 又由《 可得x2=1, 因为(x2+y2)2=18(x2-y2)≥0，所以x01≥|yo, ly=x 故C正确.由(x2十y2)2=18(x2-y2),得x十(2y2 所以曲线C的另外2个顶，点为D(1,1),E(一1，一1)， 18)x2+y4+18y2=0,则△=(2y2-18)2-4(y4+ 则|AB|=26,|DE引=2√2，所以a=√6，b (看成关于x2的方程) (椭圆的长轴长和短轴长不随着椭圆在直角 2,C二2，坐标系中位置的改变而改变) 18,)二千180，所以1y,≤号故D正骑 故长轴长为2a=2√6，故A错误。 答案ACD 焦距2c=4,故B正确. 例③[新情境]用平面α截圆柱面，圆柱 将该椭圆还原成焦点在x轴上的标准椭圆，可得：的轴与平面α所成的角记为0，当0为锐角时， 方程为 号+号=1，设演精周的焦点分别为M,N,点 圆柱面的截线是一个椭圆，数学家Dandelin创 立的双球模型证明了上述结论.如图1，将两个 Q在该椭圆上， 则1QM|2+|QN|2=|MN|2=16, 大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α 的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切，切 又由椭圆的定义，可得|QM|+|QN=2√6， 即(QM+|QN|)2-2QM|·|QN|=24- 点分别为F1,F2,则下列关于截口曲线的椭圆 2QM|·|QN=16,解得QM·|QN=4. 的结论中不正确的是( 因为QMQN,所以△QMN的面积为S 号2QM·QN=2,故C正确 由x十y=PO2和椭圆的性质得，当点P为 长轴的端点时，|PO2取得最大值a2=6,当点P为 短轴的端，点时，|PO2取得最小值b2=2,故D正确. 答案BCD 例2[新定义](2025·河北保定一模) 图1 A.椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径 (多选)已知到点F1(-一a,0)和F2(a,0)的距 相等 离之积为定值m2的点的轨迹称为“伯努利双 B.椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球 纽线”C,a>0.若m=3,曲线C过坐标原点 心距|O1O2相等 O,点P(xo,yo)为曲线C上一点，则下列说法 正确的是( C.所得椭圆的离心率e=cos0 ). A.a=3 D.其中G1G2为椭圆长轴，R为球O1的 158 第三章圆锥曲线的方程通 半径，有R=AG1·tan2 交于A,B两点，点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C 上，且x1>x2>0,y1>0.过点P且斜率为 解析设P为截口曲线的椭圆的一，点，如图2，过 一√3的直线与过点Q且斜率为3的直线交于 点P作线段EF,EF分别与球O1,O2切于点F,E, 点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证 PF+PF2=PF+PE=EF=10O21. 明另外一个成立 ①点M在直线AB上；②PQ∥AB; ③MA|=|MB|. 解析(1)右焦点为F(2,0),∴.c=2. :渐近线方程为y=士3x,“=3, ∴.b=3a,.c2=a2+b2=4a2=4,∴.a=1, 图2 .b=3、 由椭圆的定义可知，该椭圆以F1,F2为焦点， 1O1O2为长轴长，故B正确， 双曲线C的方程为-苦=1 设椭圆长半轴长为a,半焦距为c,设O为O1O2 (2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为0，直线 的中，点，PF1与球O1切于点F1,O1F1⊥a,OF1Ca, AB的斜率不为0. 故O1F1⊥OF1,有1O1F112=1O0112-1OF12=a2 若选由①②推③或选由②③推①，则由②成立可 c2=b2,则2b=21O1F1|,即椭圆的短轴长与嵌入圆 知直线AB的斜率存在且不为0. 柱的球的直径相等，故A正确 若选由①③推②，则M为线段AB的中点，假设 由题意可得0=∠0,0R1,则e=S=1051 直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知点 a=1001 M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知，点P,Q cos0,故C正确. 关于x轴对称，从而x1=x2,与已知不符 由题意知|AG1|=1FGl,8=∠0OF= 综上所述，直线AB的斜率存在且不为0. ∠A01E.,(这走▣为∠00r+20OE=LA0,F+ 设直线AB的斜率为k,直线AB的方程为y= 200R= k(x-2),设M(x0,yo). 则01 2=2∠A01F1=∠G,01F1, 则条件①，点M在直线AB上，等价于yo=k(x0 0 FGAG 2)台ky0=k2(x-2). 故tan2 R R, 两渐近线的方程合并为3x2一y2=0, 即R=AGl 0,故D错误. y=k(x-2), 联立 消去y并化简得(2一3)x2一 tan 2 3x2-y2=0, 4k2x+4k2=0. 答案D 设A(x3y3),B(x4y4),线段中点为N(xN,yN), 四工创新探究]已知双曲线C, 则xN=3十z4=2k2 2 k23yN=k(xN2)一23、 =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线 则条件③|AM=|BM等价于(x。-x3)2+(yo 方程为y=士√3x. y3)2=(x0-x4)2+(y0-y4)2, (1)求双曲线C的方程. 移项并利用平方差公式整理得 (2)过点F的直线与C的两条渐近线分别： (x3-x4)[2x0-(x3十x4)]+(y3-y4)[2yo 159 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA。 (y3+y4)]=0, ”a+小t-2 则[2x。-(x十x4刀+二兰[2y。-(0y+y4门- x3一x4 3x0 3x0 8k2 0,即x0-xN十k(yo-yN)=0,即x0十by0=-3 y8-3x8x0, .m= yo ∴.条件②PQ∥AB等价于m=k台ky0=3xo. 由题意知直线PM的斜率为一√，直线QM的 综上所述，条件①，点M在直线AB上等价于y0 斜率为√3， =k2(x0-2);条件②PQ∥AB等价于ky0=3xo;条件 y1-yo=-W3(x1-x0),y2-y0=3(x2 ®引AM=BMI等价于x+=3 xo),∴y1-y2=-3(x1十x2-2xo), 2k2 ·直线PQ的斜率m=当一业=3（十z2一2） 选由①②推③：由①②解得x6=2一—3' ..Zo x1一x2 x1-x2 8k2 则直线PM：y=一√3(x一xo)十yo,即y= 十ky0=4x0= 2-3 ∴③成立 y0十3x0-3x, 2k2 选由①③推②：由0⑧解得x。一-3y如= 代入双曲线的方程3x2-y2-3=0,即(W3x十y)· 6k2 (W3x-y)=3中， k2-3’ …yo=3x0,∴②成立. 得(yo十√5xo)[2x-(y0+√3x0)]=3,解得 选由②⑧推①：由②③解得0，y,马 3 点P的横坐标x1= 1 +yo+3x0), 23yo+√3xo 6k2 6 2-3'六x0-2=62”3”六k00=b2(0-2》 同理，x2= 1/3 23y0-3xo 十y-3x0 ①成立. 160