第七章 第二节 两条直线的位置关系 点到直线的距离-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第二节　两条直线的位置关系　点到直线的距离 知识点1　两条直线的交点 (1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应． (2)相交⇔方程组有__唯一解__，交点坐标就是方程组的解． (3)平行⇔方程组__无解__． (4)重合⇔方程组有__无数组解__． 知识点2　三种距离 三种距离 条件 公式 两点间 的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2) |AB|＝____ 点到直线的距离 P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d d＝____ 两平行线间的距离 直线Ax＋By＋C1＝0到直线Ax＋By＋C2＝0的距离为d d＝____ 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　) 【解析】　(1)两直线l1，l2有可能重合． (2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 教材衍化 2．两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为(　　) A．　　　　　　　 B． C．7 D． 【解析】　由题意知a＝6，直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为＝. 【答案】　D 3．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________． 【解析】　由得 ∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0， 即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9. 【答案】　－9 考题体验 4．(2023·河南新乡·高二统考期末)已知直线l1：x＋ay＋1＝0，l2：x＋2y－2＝0，若l1⊥l2，则a＝(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 【解析】　由直线l1：x＋ay＋1＝0，l2：x＋2y－2＝0，l1⊥l2，可得1×1＋2a＝0，解得a＝－.故选D. 【答案】　D 5．(2023·淮南二模)设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】　当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件，故选A. 【答案】　A 【例1】　已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0， (1)试判断l1与l2是否平行； (2)l1⊥l2时，求a的值． 【思路点拨】　直线的斜率可能不存在，故应按l2的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论． 【自主解答】　(1)方法一：当a＝1时， l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1不平行于l2； 当a＝0时，l1：y＝－3， l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2； 当a≠1且a≠0时，两直线可化为 l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)， l1∥l2⇔解得a＝－1 综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行． 方法二：由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0， 由A1C2－A2C2≠0，得a(a2－1)－1×6≠0∴l1∥l2⇔⇔⇒a＝－1， 故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行． (2)方法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0， l1与l2不垂直，故a＝1不成立． 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2， 当a≠1且a≠0时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)， 由(－)·＝－1⇒a＝. 方法二：由A1A2＋B1B2＝0得a＋2(a－1)＝0⇒a＝. 【解题心得】　(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. ①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0. ②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 【例