第六章 第五节 空间直角坐标系-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第五节　空间直角坐标系 知识点1　空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系 定义 以空间一点O为原点，具有相同的__单位长度__，给定正方向，建立两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，建立了一个空间直角坐标系Oxyz 坐标原点 点O 坐标轴 横轴x轴 纵轴y轴 竖轴z轴 坐标平面 通过每两个 坐标轴的平面 (2)空间一点M的坐标 空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的__横坐标__，y叫做点M的__纵坐标__，z叫做点M的__竖坐标__． 知识点2　空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式 ①设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝____； ②设点P(x，y，z)，则与坐标原点O之间的距离为|OP|＝____． (2)中点公式 设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点， 则 思考1：在空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有什么特征？ 提示：x轴上点的坐标为(x，0，0)，y轴上点的坐标为(0，y，z)，z轴上的点的坐标为(0，0，z). 思考2：在空间直角坐标系中，坐标平面上的点的坐标有什么特征？ 提示：xOy面上的点坐标为(x，y，0)，yOz面上的坐标为(0，y，z)，xOz面上的点坐标为(x，0，z). 知识点3　空间向量及有关概念 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是__存在实数λ，使得a＝λb__． (2)共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝__1__． (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝__xa＋yb＋zc__，把{a，b，c}叫做空间的一个基底． 知识点4　空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a·b＝__a1b1＋a2b2＋a3b3__． (2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，b1，c1)，b＝(b1，b2，b3) 则a∥b⇔__a＝λb__⇔__a1＝λb1__，__a2＝λb2__，__a3＝λb3__， a⊥b⇔__a·b＝0__⇔__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__(a，b均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则|a|＝＝____， |b|＝＝____． cos 〈a，b〉＝＝____． (4)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2). 则||＝____． 知识点5　空间向量与空间位置关系 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔__n1＝λn2__ l1⊥l2 n1⊥n2⇔__n1·n2＝0__ 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔__n·m＝0__ l⊥α n∥m⇔__n＝λm__ 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔__n＝λm__ α⊥β n⊥m⇔__n·m＝0__ 知识点6　空间向量与空间角的计算 (1)异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则： l1与l2所成的角为__〈a，b〉__或__π－〈a，b〉__，则cos θ＝. (2)斜线与平面所成的角φ求法 用斜线的方向向量e与平面的法向量n，φ＝__－〈e，n〉__或φ＝__〈e，n〉－__，则sin φ＝|cos 〈a，n〉|＝. (3)二面角φ的大小求法 如果二面角α－l－β的大小为θ，α，β的法向量分别为m，n，则θ＝__〈m，n〉__或θ＝__π－〈m，n〉__． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　　) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　　) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(　　) (4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π].(　　) 【解析】　(1)两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角；(2)直线的方向向量a，平面的法向量n，直线与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a，n〉|；(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 教材衍化 2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的