第六章 第四节 直线、平面垂直的判定及性质-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第四节　直线、平面垂直的判定及性质 知识点1　直线与平面垂直 (1)定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)线面垂直的判定和性质 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒__l⊥α__ 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 ⇒__b⊥α__ 性质 如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线垂直于平面内任意一条直线 ⇒__a⊥b__ 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒__a∥b__ 知识点2　直线与平面所成的角(设为θ) (1)斜线与平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的__射影__所成的锐角，叫作这条斜线和这个平面所成的角． (2)当一条直线垂直于平面时，规定它们所成的角是__90°__；当一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们所成的角为__0°__． (3)直线与平面的位置关系 直线l和平面α的位置关系 l⊂α 或l∥α l⊥α l和α 斜交 θ的取值范围 0 思考：当两条斜线与平面所成的角相等时，这两条斜线是什么关系？ 提示：平行、相交或异面． 知识点3　二面角与平面垂直 (1)二面角的定义：由两个__半平面__和一条公共交线所组成的空间图形叫作二面角．公共交线叫作该二面角的__棱__． (2)二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作__垂直__棱的两条射线，这两条射线所组成的角叫作二面角的平面角．若记此角为θ，当θ＝90°时，二面角叫作直二面角． (3)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (4)面面垂直的判定和性质 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 ∠AOB是二面角α－l－β的平面角，且∠AOB＝90°，则__α⊥β__ 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 ⇒__α⊥β__ 性 质 如果两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 ⇒__l⊥α__ 如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面 ⇒__l⊥γ__ 思考1：若平面α⊥β，平面α内的直线与β有什么关系？ 提示：平面α内的直线与β平行或相交或在β内． 思考2：垂直于同一个平面的两个平面平行吗？ 提示：不一定． [常用结论] 1．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 2．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 3．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 4．若一条直线和两个不重合的平面都垂直，那么这两个平面平行． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　) (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　) 【解析】　(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l⊂α或l∥α，故(1)错误． (2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误． (3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误． (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 教材衍化 2．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 【解析】　由题意知，α∩β＝l，所以l⊂β，因为n⊥β，所以n⊥l. 【答案】　C 3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的_________心． (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心． 【解析】　 (1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心． (2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，所以PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以PC⊥AB，因为PO⊥AB，PO