第六章 第三节 直线、平面平行的判定及性质-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第三节　直线、平面平行的判定及性质 知识点1　平面的基本性质 语言表述 作用 公理1：如果一条直线上的两点__在一个平面内__，那么这条直线上所有的点都在此平面内 证明“点在平面内”或线在平面内 公理2：过不在__同一条直线上__的三点，有且只有一个平面 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 ①判断两个平面是否重合 ②确定一个平面 ③证明点线共面 公理3：如果两个__不重合的__平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ①证明：三点共线，三线共点 ②确定两相交平面的交线 公理4：平行于__同一条直线__的两条直线互相平行 证明：线线平行 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边__分别平行__，那么这两个角相等或互补 求空间角 知识点2　空间两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). ②范围：____． 思考1：“分别在不同平面内的两条直线”是异面直线吗？ 提示：不一定． 思考2：若直线a与b异面，b与c异面，那么a与c异面吗？ 提示：不一定．异面直线不具有传递性，a与c可能异面，可能平行，也可能相交． 知识点3　直线与平面平行的判定定理和性质定理 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 因为__l⊄α__，__a⊂α__， __l∥a__所以l∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 因为__l∥α__，__l⊂β__， __α∩β＝b__，所以l∥b 知识点4　平面与平面平行的判定定理和性质定理 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 因为__a⊂α，b⊂α__，__a∩b＝P，a∥β，b∥β__，所以α∥β 性质 定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 因为__α∥β__，__α∩γ＝a，β∩γ＝b__，所以a∥b 思考：如果a⊂α，l∥α，那么l与α有什么关系？ 提示：l⊂α或l∥α. [常用结论] 1．直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． 2．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 3．一条直线与一个平面平行，那么它与这个平面内的直线平行或异面． 4．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． 5．垂直于同一条直线的两个平面平行． 6．夹在两个平行平面间的平行线段相等． 7．若α、β、γ是三个不同的平面，α∥β，β∥γ，则α∥γ. 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　) (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　) 【解析】　(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误． (2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误． (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 教材衍化 2．(2023·山西太原·高一统考期末)已知直线a与平面α满足a∥α，直线b⊂α，下列结论正确的是(　　) A．a与b无公点 B．a与b异面 C．a∥b D．a⊥b 【解析】　依题意可知a∥α，而b⊂α，所以a，b没有公共点，a与b可能异面、平行、垂直，所以A选项正确，BCD选项错误．故选A. 【答案】　A 3．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________________． 【解析】　∵平面ABFE∥平面DCGH， 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF， 平面EFGH∩平面DCGH＝HG， ∴EF∥HG.同理EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形． 【答案】　平行四边形 考题体验 4．(2023·郑州调研)平面α∥平面β的一个充分条件是(　　) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β