第六章 第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 1．平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的__两个点__在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过__不在同一直线__的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们__有且只有一条__过该点的公共直线． 2．空间中点、线、面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形 语言 符号 语言 __a∥b__ __a∥α__ __α∥β__ 交点 个数 0 0 0 相交关系 图形 语言 符号 语言 __a∩b＝A__ __α∩a＝A__ __α∩β＝l__ 交点 个数 1 1 无数个 独有关系 图形 语言 符号 语言 a，b是 异面直线 a⊂α 交点 个数 0 无数个 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　) (4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．(　　) 【解析】　(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误． (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误． (4)由于a不平行于平面α，且a⊄α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误． 【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 教材衍化 2. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　) A．30°　　　　　　 B．45° C．60° D．90° 【解析】　连接B1D1，D1C，B1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C或其补角为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°. 【答案】　C 3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形； (2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形． 【解析】　(1)∵四边形EFGH为菱形， ∴EF＝EH，∵EF綊AC，EH綊BD，∴AC＝BD. (2)∵四边形EFGH为正方形， ∴EF＝EH且EF⊥EH， ∵EF綊AC，EH綊BD， ∴AC＝BD且AC⊥BD. 【答案】　(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD 考题体验 4．(多选题)(2023·长沙质检)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系可能是(　　) A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行 【解析】　依题意，m∩α＝A，n⊂α， ∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行． 【答案】　ABC 5．(2023·河北保定·高一统考期末)已知P为平面α外一点，则下列判断错误的是(　　) A．过点P只能作一个平面与α平行 B．过点P可以作无数条直线与α平行 C．过点P只能作一个平面与α垂直 D．过点P只能作一条直线与α垂直 【解析】　过平面α外一点P只能作一个平面与α平行，故A正确；平面α外一点P可以作无数条直线与α平行，故B正确；平面α外一点P只能作一条直线与α垂直，故D正确；平面α外一点P可以作无数个平面与α垂直，故C错误．故选C. 【答案】　C 【例1】　如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点． (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？ 【思路点拨】　(1)→，→ (2)证明D点在EF、CH确定的平面内． 【自主解答】　(1)证明　由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊AD. 又BC綊AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG是平行四边形． (2)由BE綊AF，G为FA中点知BE綊GF， ∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面． 又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面． 【解题心得】　本题易出现延长FE，DC交于一点的错误，出错原因是逻辑思维不严谨． 【例2】　如图，在四面体ABCD中作截面PQR，PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K. 求证：M、N、K三点共线． 【思路点拨】　→→ 【自主解