第二章 第一节 函数及其表示-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第一节　函数及其表示 知识点1　函数的有关概念 (1)函数的概念． 一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的__任何__一个数x，在集合B中都有__唯一__确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：__y＝f(x)，x∈A__．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)函数的三要素为__定义域__、__值域__、__对应关系__． 思考：函数f(x)＝x3，x∈{0，1}与g(t)＝t3，t∈{0，1}是同一函数吗？ 思考：提示：是．因为两函数的定义域和对应法则相同，故是同一函数． 知识点2　函数的表示法 函数常用的表示方法有__图象法__、__列表法__、__解析法__． 知识点3　分段函数 若函数在定义域的不同子集上，因__对应关系__不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 思考：如何求分段函数的定义域、值域？ 提示：分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝1与y＝x0是同一函数．(　　) (2)对于函数f∶A→B，其值域是集合B.(　　) (3)f(x)＝＋是一个函数．(　　) (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(　　) 【解析】　(1)错误．函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数． (2)错误．值域C⊆B，不一定有C＝B. (3)错误．f(x)＝＋中x不存在． (4)错误．若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 教材衍化 2．(2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试)如图是周老师散步时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象，则周老师散步的路线可能是(　　) 【解析】　根据y关于x的函数关系的图象可知，周老师先远离家，然后有一段时间和家的距离相同，然后再回家(离家越来越近)，所以D选项对应图象符合．故选D. 【答案】　D 3．(多选题)下列各组函数是同一函数的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝与g(x)＝x C．f(x)＝与g(x)＝ D．f(x)＝x与g(x)＝ 【答案】　AC 考题体验 4．(2023·浙江台州·高一台州一中校考开学考试)在同一直角坐标系中，函数y＝(k≠0)与y＝kx＋k(k≠0)的图象大致是(　　) 【解析】　k<0时，反比例函数y＝的图象经过二、四象限，一次函数y＝kx＋k(k≠0)的图象经过二、三、四象限，没有选项符合；k>0时，反比例函数y＝的图象经过一、三象限，一次函数y＝kx＋k(k≠0)的图象经过一、二、三象限，C选项符合；故选C. 【答案】　C 5．(2020·北京卷)函数f(x)＝＋ln x的定义域是__________． 【解析】　要使函数有意义，需满足 所以函数的定义域为(0，＋∞). 【答案】　(0，＋∞) 【例1】　求下列函数的定义域． (1)f(x)＝ln (2－x) (2)f(x)＝ 【思路点拨】　首先列出使函数有意义的不等式(组)，然后再解之，并写成集合的形式． 【自主解答】　(1)由题意知，x≥0且2－x>0，解得0≤x＜2，故其定义域是[0，2). (2)要使函数f(x)有意义，则(log2x)2－1>0，即log2x>1或log2x<－1，解得x>2或0<x<，故所求函数的定义域是(0，)∪(2，＋∞). 【解题心得】　函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x取值的集合，先根据解析式的限制条件，建立不等式(组)，求出定义域，实际问题中注意自变量x的实际意义，若函数是图象给出，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合． 【例2】　(1)若f(x＋3)＝x2－2x＋3，求f(x)； (2) 已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式。 (3)已知f(x)满足2f(x)＋f()＝3x，求f(x)的解析式。 【思路点拨】　(2)中先设二次函数f(x)，再由待定系数法求出f(x)的解析式． 【自主解答】　(1)解法一f(x＋3)＝x2－2x＋3 ＝(x＋3)2－2x－6x＋3－9＝(x＋3)2－8x－6＝(x＋3)2－8(x＋3)＋24－6＝(x＋3)2－8(x＋3)＋18， ∴f(x)＝x2－8x＋18. 解法二　令x＋3＝t，则x＝t－3， ∴f(t)＝(t－3)2－2(t－3)＋3＝t2－8t＋18 ∴f(x)＝x2－8x＋18.