第二章 第五节 指数与指数函数-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第五节　指数与指数函数 知识点1　指数与指数运算 1．根式的性质 (1)()n＝__a__(a使有意义). (2)当n是奇数时，＝a；当n是偶数时，＝__|a|__＝____． 2．分数指数幂的意义 (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q). (2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q). (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q). 知识点2　指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域：__R__ 值域：__(0，＋∞)__ 当x＝0时，y＝1，即过定点__(0，1)__ ①当x>0时，__0＜y＜1__； 当x<0时，__y＞1__ ②当x>0时，__y＞1__； 当x<0时，__0＜y<1__ 在R上是__减__函数 在R上是__增__函数 [常用结论] 1．指数函数的图象与底数大小的比较 在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大． 2．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)＝－4.(　　) (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　) (3)函数y＝2x－1是指数函数．(　　) (4)函数的值域是(0，＋∞).(　　) 【解析】　(1)由于＝＝4，故(1)错误． (2)当<1时，不可以，故(2)错误． (3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)， 故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错误． (4)由于x2＋1≥1，又a＞1， 故的值域是[a，＋∞)，(4)错误． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 教材衍化 2．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过，则f(－1)＝(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C． D．3 【解析】　依题意可知a2＝，解得a＝， 所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝. 【答案】　C 3．(2023·浙江丽水·高二统考期末)已知a，b∈R，则“2a>2b”是“<”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【解析】　取a＝2，b＝－1，可知2a>2b，但是>0>，所以，由2a>2b推不出<；取a＝－1，b＝1，可知<0<，但是2a<2b，所以，由<推不出2a>2b.所以，“2a>2b”是“<”的既不充分也不必要条件．故选C. 【答案】　C 考题体验 4．(2023·南京检测)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　) 【解析】　易知f(x)为偶函数，且f(x)＝1－e|x|≤0，A正确． 【答案】　A 5．(2023·合肥冲刺)若0<b<a<1，则ab，ba，aa，bb中最大的是(　　) A．ab B．ba C．aa D．bb 【解析】　∵0<b<a<1，∴指数函数y＝ax和y＝bx均为减函数，∴ab>aa，ba<bb，∵幂函数y＝xb在(0，＋∞)上为增函数，∴ab>bb，即ab，ba，aa，bb中最大的是ab. 【答案】　A 【例1】　化简下列各式(其中各字母均为正数). 【思路点拨】　(1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则计算；(2)题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再假设条件去求． 【自主解答】　 (2)原式＝1＋×()－()＝1＋×－＝1＋－＝ 【解题心得】　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定序号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 【例2】　若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为______． 【自主解答】　函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示． 由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0] 【答案】　(－∞，0] 【解题心得】　(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利