第二章 第四节 二次函数与幂函数-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第四节　二次函数与幂函数 知识点1　幂函数 (1)幂函数的定义：形如__y＝xα__(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是__自变量__，α是常数． (2)五种幂函数的图象 (3)五种幂函数的性质 函数式 定义域 值域 y＝x R R y＝x2 R [0，＋∞) y＝x3 R R y＝x [0，＋∞) [0，＋∞) y＝x－1 {x|x∈R，且x≠0} {y|y∈R，且y≠0} 思考：幂函数的图象能经过第四象限吗？ 提示：不能．因为当x>0时，y＝xα>0. 知识点2　二次函数的图象与性质 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在x∈上单调递增，在x∈上单调递减 在x∈上单调递增，在x∈上单调递减 奇偶性 当__b＝0__时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点坐标 对称性 图象关于直线x＝－对称 思考：函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)一定在顶点处取到最大(小)值吗？ 提示：不一定．因为最值的取得还与自变量的取值区间有关，当x＝－不在自变量的取值区间内时，则最值就不能在顶点处取到． [常用结论] 1．幂函数的性质 (1)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (2)当α>0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数； 当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数． 2．关于二次函数的几个常用结论 (1)函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)，x∈[p，q]的最值．若h∈[p，q]，则x＝h时有最小值k，最大值是f(p)与f(q)中较大者；若h∉[p，q]，则f(p)，f(q)中较小者为最小值，较大者为最大值． (2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ①当时，对x∈R恒有f(x)>0. ②当时，对x∈R恒有f(x)<0. 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝2x是幂函数．(　　) (2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数．(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　) 【解析】　(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xa，故y＝2x不是幂函数，(1)错误． (3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式． (4)对称轴x＝－，当－不在给定定义域内时，最值不是，故(4)错误． 【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 教材衍化 2．(2023·陕西西安·高一陕西师大附中校考期末)已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则实数a的值为(　　) A．－1或2 B．－2或1 C．－1 D．1 【解析】　∵f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，∴a2－a－1＝1，∴a＝2，或a＝－1，又a－2≠0，∴a＝－1，故选C. 【答案】　C 3．已知函数f(x)＝－2x2＋mx＋3(0≤m≤4，0≤x≤1)的最大值为4，则m的值为________． 【解析】　f(x)＝－2x2＋mx＋3＝－2＋＋3， ∵0≤m≤4，∴0≤≤1，∴当x＝时，f(x)取得最大值，∴＋3＝4，解得m＝2. 【答案】　2 考题体验 4．(2023·青岛联考)不等式(x2＋1)>(3x＋5)的解集为(　　) A．∪(4，＋∞) B．(－1，4) C．(4，＋∞) D．(－∞，－1)∪(4，＋∞) 【解析】　不等式(x2＋1)>(3x＋5)等价于x2＋1>3x＋5≥0， 解得－≤x<－1或x>4. 所以原不等式的解集为∪(4，＋∞). 【答案】　A 5．(2023·武汉质检)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，8]上是单调函数，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，40] B．[40，64] C．(－∞，40]∪[64，＋∞) D．[64，＋∞) 【解析】　f(x)图象的对称轴x＝，且f(x)在[5，8]上是单调函数， ∴≥8或≤5，解之得k≥64或k≤40. 【答案】　C 【例1】　已知二次函数f(x)同时满足条件： ①f(1＋x)＝f(1－x)； ②f(x)的最大值为15； ③f(x)＝0的两根立方和等于17，求f(x)的解析式． 【自主解答】　由f(1＋x)＝f(1－x)，知f(x)图象关于x＝1对称，又其最大值为15， ∴设f(x)＝a(x－1)2＋15(a≠0) 即f(x)＝ax2－2ax＋a＋15 设f(x)＝0的两根为x1，x2，则：x1＋x2＝2，x1x2＝1＋ 而x＋x＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2) ＝23