第二章 第十节 导数的应用-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第十节　导数的应用 知识点1　利用导数研究函数的单调性 在(a，b)内可导函数f(x). f′(x)>0⇒f(x)在(a，b)上为__单调递增__函数． f′(x)<0⇒f(x)在(a，b)上为__单调递减__函数． f′(x)＝0⇒f(x)在(a，b)上为__常__函数． [注意]　(1)f′(x)>0(<0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件． (2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件． (3)由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f′(x)>0(<0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验． 思考1：若f′(x)在(a，b)内的任意子区间都不恒等于零(允许个别点x0，使f′(x0)＝0)，则f′(x)≥0(≤0)是f(x)在(a，b)内递增(递减)的什么条件？ 提示：充要条件． 思考2：在区间(a，b)内f′(x)的大小与在(a，b)内函数y＝f(x)的图象的“陡峭”和“平缓”有什么关系？ 提示：函数在某一范围内导数的绝对值较大，函数在这个范围内变化得快，其对应函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)即导函数y＝f′(x)在相应范围内是增函数，反之，函数的图象就“平缓”一些． 知识点2　函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)__<__0，右侧f′(x)__>__0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)__>__0，右侧f′(x)__<__0，则点__b__叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 思考：导函数f′(x)的零点与可导函数f(x)的极值点有何关系？ 提示：可导函数f(x)的极值点x0一定是导函数f′(x)的变号零点． 知识点3　函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在__[a，b]__上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则__f(a)__为函数的最小值，__f(b)__为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则__f(a)__为函数的最大值，__f(b)__为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的__极值__； ②将f(x)的各极值与__f(a)，f(b)__进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　) (3)函数的极大值一定大于其极小值．(　　) (4)对可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x0为极值点．(　　) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　) 【解析】　(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值． (4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导函数异号． 【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 教材衍化 2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　) A．(0，1]　　　　　 B．[1，＋∞) C．(－∞，－1] D．[－1，0)∪(0，1] 【解析】　由题意知f′(x)＝2x－＝(x>0)， 由f′(x)≤0，得0<x≤1.故单减区间为(0，1]. 【答案】　A 3．(2023·河南濮阳·高二统考期末)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则(　　) A．f(x)在(－∞，－2)上单调递增 B．f(x)在(0.3)上单调递减 C．f(x)在x＝0处取得最大值 D．f(x)在x＝－2处取得最小值 【解析】　根据导函数图象，可知当x∈(－∞，－2)，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)，f(x)单调递增；当x∈(0，3)，f(x)单调递减；当x∈(3，＋∞)，f(x)单调递增．f(x)在x＝0处取得极大值，不一定最大值；f(x)在x＝－2处取得极小值，不一定最小值，故ACD错误，故选