第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第三节　函数的奇偶性与周期性 知识点1　函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝__f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于__y轴__对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝__－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于__原点__对称 口诀记忆 奇偶性有特征，定义域要对称；奇函数，有中心，偶函数，有对称． 思考：函数图象分别关于坐标原点、y轴对称的函数一定是奇函数和偶函数吗？ 提示：一定是．反之，也成立． 知识点2　函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 思考：函数y＝f(x)(x∈R)是周期函数，则其周期唯一吗？是否有最小正周期？ 提示：不唯一．若T是y＝f(x)(x∈R)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．若函数y＝f(x)是常数函数，则y＝f(x)是周期函数，且无最小正周期． [常用结论] 1．函数奇偶性常用结论 (1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 3．函数对称性常用结论 (1)函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称． (2)函数y＝f(x)满足f(x)＝f(2a－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数．(　　) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　) (4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点对称．(　　) 【解析】　(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误． (2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 教材衍化 2．(2023·全国·高三专题练习)函数f(x)＝(1＋x)的奇偶性为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【解析】　由函数f(x)＝(1＋x) 的定义域可得≥0，则⇒－1<x≤1， 由于定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．故选C. 【答案】　C 3．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝－x3，则f＝________． 【解析】　由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3， 又函数f(x)为奇函数， 所以f＝f＝－f＝＝. 【答案】　 考题体验 4．(2020·江苏卷改编)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x，则f(－8)的值是(　　) A．8　　 B．－8　　 C．4　　 D．－4 【解析】　f(8)＝8＝4，因为f(x)为奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－4. 【答案】　D 5．(多选题)(2023·日照质检)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为周期函数 C．f(x＋3)为奇函数 D．f(x＋4)为偶函数 【解析】　由f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数知函数f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0)对称， 所以f(x)＋f(2－x)＝0，f(x)＋f(4－x)＝0， 所以f(2－x)＝f(4－x)，即f(x)＝f(x＋2)， 所以f(x)是以2为周期的函数． 所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均为奇函数． 【答案】　ABC 【例1】　讨论下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x＋1) ； (2)f(x)＝. (3)f(x)＝＋ 【思路点拨】　→→ 【自主解答】　(1)定义域要求≥0，∴－1＜x≤1. ∴f(x