第二章 第六节 对数与对数函数-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第六节　对数与对数函数 知识点1　对数与对数运算 (1)对数的运算性质 ①＝__N__；②logaaN＝__N__；③loga1＝__0__(a＞0且a≠1). 思考：logax2＝2logax一定成立吗？ 提示：不一定．如loga(－5)2≠2loga(－5). (2)对数的运算法则 如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，则 ①loga(MN)＝__logaM＋logaN__；②loga＝__logaM－logaN__； ③logaMn＝__nlogaM__(n∈R). (3)对数的换底公式 logab＝____(a＞0且a≠1，c＞0且c≠1，b＞0). 知识点2　对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：__(0，＋∞)__ 值域：__R__ 图象过定点__(1，0)__，即恒有loga1＝0. ①当x＞1时，恒有__y>0__；当0＜x＜1时，恒有__y<0__． ②当x＞1时，恒有__y<0__；当0＜x＜1时，恒有__y>0__． 在(0，＋∞)上是__增函数__ 在(0，＋∞)上是__减函数__ [常用结论] 1．换底公式的两个重要结论 (1)logab＝；(2) ＝logab.其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R. 2．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 3．函数y＝logax与y＝ax是互为反函数，其图象关于y＝x对称． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log2x2＝2log2x.(　　) (2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　) (3)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　　) (4)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(　　) 【解析】　(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错误． (2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错误． (4)若0<b<1<a，则当x＞1时，logax＞logbx，故(4)错误． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 教材衍化 2．log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　) A．0　　　　　　　　 B．2 C．4 D．6 【解析】　原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6. 【答案】　D 3．(2023·江苏苏州·高二统考期末)已知a，b∈R，则“log2a>log2b”是“2a>2b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　若log2a>log2b，则a>b>0，则2a>2b，所以“log2a>log2b”是“2a>2b”的充分条件；若2a>2b，则a>b，只有当a>b>0时，才能推出log2a>log2b，所以“log2a>log2b”不是“2a>2b”的必要条件，所以“log2a>log2b”是“2a>2b”的充分不必要条件．故选A. 【答案】　A 考题体验 4．(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝(　　) A． B． C． D． 【解析】　法一　因为alog34＝2，所以log34a＝2，则4a＝32＝9，所以4－a＝＝.故选B. 法二　因为alog34＝2，所以a＝＝2log43＝log432＝log49， ＝9－1＝.故选B. 【答案】　B 5．(多选题)(2023·常州联考)已知函数f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f(1－|x|)，则关于函数h(x)有下列说法，其中正确的说法为(　　) A．h(x)的图象关于原点对称 B．h(x)的图象关于y轴对称 C．h(x)的最大值为0 D．h(x)在区间(－1，1)上单调递增 【解析】　函数f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称， ∴f(x)＝log2x，∴h(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，不是奇函数，∴A错误，B正确； 根据偶函数性质可知D错误． 【答案】　BC 【例1】　 (1)计算：2(lg )2＋lg ·lg 5＋； 【思路点拨】　(1)观察式子的特征，利用对数的运算性质将式子化简(如去根号、降幂等)，然后求值． (2)利用已知条件求得和值后，代入求值． 【自主解答】　(1)原式＝lg (2lg ＋lg 5)＋＝lg (lg 2＋lg 5)＋|lg －1|＝lg ＋(1－lg )＝1. (2)由已知得lg ()2＝lg x