第二章 第九节 导数及导数的运算-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第九节　导数及导数的运算 知识点1　导数的概念 函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率_____＝ 【1】为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝_____． 【1】函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 思考：f′(x)与f′(x0)的区别与联系． 提示：f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，所以[f′(x0)]′＝0. 知识点2　导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的__切线的斜率__(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为__y－y0＝f′(x0)·(x－x0)__． [注意]　“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 思考：直线与曲线只有一个公共点，则该直线一定与曲线相切吗？为什么？ 提示：不一定．因为直线与曲线的公共点个数不是切的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线有一个公共点，但切点一定是直线与曲线的公共点． 知识点3　求导公式及运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 ①c′＝__0__；②(xα)′＝__αxα－1__(α∈Q*)； ③(sin x)′＝__cos_x__；④(cos x)′＝__－sin_x__； ⑤(ax)′＝__ax·ln_a__；⑥(ex)′＝__ex__； ⑦(logax)′＝____；⑧(ln x)′＝____． (2)导数的运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__； ②[f(x)·g(x)]′＝__f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)__； ③′＝__(g(x)≠0)__． (3)复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))对自变量的导数等于已知函数对中间变量的__导数__与中间变量对自变量的导数的__乘积__．设y＝f(u)，u＝g(x)，则y′x＝f′(u)·g′(x). 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)函数f(x)＝sin (－x)的导数f′(x)＝cos x.(　　) (3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).(　　) (4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的．(　　) 【解析】　(1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错． (2)f(x)＝sin (－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错． (3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错． (4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 教材衍化 2．(2023·广东省清远市高二下学期期末)已知函数f(x)＝ex－2x，则f′(2)＝(　　) A．e2－4　　　　　　　 B．e2－2 C．e2＋e D．e2＋2 【解析】　因为f(x)＝ex－2x，所以f′(x)＝ex－2，所以f′(2)＝e2－2，故选B. 【答案】　B 3．若曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________． 【解析】　y′＝aex＋(ax＋1)ex，则y′|x＝0＝a＋1＝－2，所以a＝－3. 【答案】　－3 考题体验 4．(多选题)(2023·聊城模拟)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝x3＋x C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ex＋x 【解析】　对于A，f(x)＝3cos x，其导数f′(x)＝－3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f(x)＝x3＋x，其导数f′(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符