第二章 第二节 函数的单调性与最值-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第二节　函数的单调性与最值 知识点1　函数的单调性 (1)增函数、减函数 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有__f(x1)>f(x2)__，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 思考：若f(x)的单调递减区间为(a，b)和(c，d)，设x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，且x1<x2，则f(x1)>f(x2)成立吗？ 提示：不成立，如f(x)＝. 知识点2　函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ①对于任意的x∈I，都有__f(x)≤M__； ②存在x0∈I，使得__f(x0)＝M__ ③对于任意x∈I，都有 __f(x)≥M__； ④存在x0∈I，使得__f(x0)＝M__ 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 思考：若函数的最值存在，那么它一定是值域中的元素吗？ 提示：是． [常用结论] 函数单调性的常用结论 (1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，＜0⇔f(x)在D上是减函数． (2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－] 和[，＋∞]，减区间为[－，0)和(0，]. (3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　　) (2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　) (3)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数．(　　) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(　　) 【解析】　(2)此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞). (3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以． (4)若f(x)＝x，在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞). 【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 教材衍化 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　) A．y＝－x B．y＝x2－x C．y＝ln x－x D．y＝ex 【解析】　易知A中y＝－x在(0，＋∞)内是减函数， B，C中函数y＝x2－x与y＝ln x－x在(0，＋∞)内不单调， D中y＝ex在(0，＋∞)内是增函数． 【答案】　A 3．(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【解析】　因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)<f，所以0≤2x－1<，解得≤x<.故选D. 【答案】　D 考题体验 4．(2023·全国·高一假期作业)已知函数f(x)在R上是递减函数，a，b∈R且a＋b<0，则有(　　) A．f(a)＋f(b)<0 B．f(a)＋f(b)>0 C．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) 【解析】　∵f(x)是减函数，a＋b<0，∴a<－b，b<－a， ∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)；故选D. 【答案】　D 5．(2023·聊城检测)函数f(x)＝9x2＋的最小值为________． 【解析】　∵f(x)的定义域为[1，＋∞)， 且y＝9x2与y＝在[1，＋∞)内均为增函数， ∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝9. 【答案】　9 【例1】　讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 【思路点拨】　先将函数解析式的结构特征分析、转化，然后根据解析式特征选择合理的方法求解． 【自主解答】　解：法一：设－1<x1<x2<1， f(x)＝a()＝a(1＋)， 则f(x1)－f(x2)＝a(1＋)－a(1＋)＝. 由于－1<x1<x2<1， 所