第二章 第八节 函数与方程-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第八节　函数与方程 知识点1　函数的零点 (1)函数零点的定义 函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的__横坐标__称为这个函数的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x轴__有交点⇔函数y＝f(x)有__零点__． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间__(a，b)__内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解． 思考：函数的零点是函数图象与x轴交点吗？ 提示：不是．函数的零点不是点，而是函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点2　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 __(x1，0)(x2，0)__ __(x1，0)__ __无交点__ 零点个数 __2__ __1__ __0__ [常用结论] 1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝2x的零点为0.(　　) (2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0．(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　) 【解析】　(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误． 【答案】　(1)√　(2)×　(3)√ 教材衍化 2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 f(x) －4 －2 1 4 7 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　) A．(1，2)　　　　　　 B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 【解析】　由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点． 【答案】　B 3．(2023·全国·高一假期作业)下列图象中，不能用二分法求函数零点的是(　　) 【解析】　根据零点存在定理，对于A，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点．故选A. 【答案】　A 考题体验 4．(多选题)(2023·威海调研)下列说法中正确的是(　　) A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0) B．函数f(x)＝x＋1的零点为－1 C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点 D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标 【解析】　根据函数零点的定义可知f(x)＝x＋1的零点为－1.函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D正确，A，C错误． 【答案】　BD 5．(2023·唐山检测)方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________． 【解析】　令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数．当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10. 又当f(1)＝0时，k＝5. 综上，实数k的取值范围是[5，10). 【答案】　[5，10) 【例1】　(1)函数f(x)＝ln (x＋1)－的一个零点所在的区间是(　　) A．(0，1)　　　　　　 B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) (2)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】　借助函数零点存在性定理、函数的单调性→函数零点个数 【自主解答】　(1)∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝ln 2－1<0，f(2)＝ln 3－>0， ∴f(x)的零点所在区间为(1，2)，故选B. (2)由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞).在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象． 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.故选C. 【答案】　(1)B　(2)C 【解题心得】　方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的