第八章 第三节 二项式定理-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第三节　二项式定理 知识点1　二项式定理 (a＋b)n－__Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)__．这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(r＝0，1，2，…，n)叫做__二项式系数__．二项展开式中的Can－rbr叫做二项展开式的__通项__，用Tr＋1表示，即通项为展开式的第r＋1项：Tr＋1＝Can－rbr. 知识点2　二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C. (2)增减性与最大值：对于二项式系数C(r＝0，1，2，…，n)，当r<时，二项式系数是递增的；当r>时，二项式系数是递减的． ①当n是偶数时，二项展开式的中间一项的二项式系数最大，即最大的二项式系数为． ②当n是奇数时，二项展开式的中间两项的二项式系数最大，即最大的二项式系数为和． (3)二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即__C＋C＋C＋…＋C＋…＋C__＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝__2n－1__． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)Can－kbk是二项展开式的第k项．(　　) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　) (4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(　　) 【解析】　二项展开式中Can－kbk是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 教材衍化 2．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　) A．C　　　　　　 B．C C．C D．(－1)m－1C 【解析】　(x－y)n展开式中第m项的系数为C(－1)m－1. 【答案】　D 3．(2023·江西萍乡·高二校联考阶段练习)二项式的展开式中的常数项为(　　) A．－1 B．－21 C．21 D．42 【解析】　二项式的展开式中的常数项即(x－1)7的展开式中Tr＋1＝C(－1)rx7－r含x2项的系数，即C(－1)5＝－21.故选B. 【答案】　B 考题体验 4．(2020·北京卷)在(－2)5的展开式中，x2的系数为(　　) A．－5 B．5 C．－10 D．10 【解析】　Tr＋1＝C()5－r(－2)r＝Cx·(－2)r， 令＝2，∴r＝1.x2的系数为C(－2)1＝－10.故选C. 【答案】　C 5．(多选题)(2023·泰州调研)对于二项式(n∈N*)，以下判断正确的有(　　) A．存在n∈N*，展开式中有常数项 B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项 【解析】　该二项展开式的通项为Tk＋1＝C(x3)k＝Cx4k－n，∴当n＝4k时，展开式中存在常数项，A选项正确，B选项错误；当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D选项正确，C选项错误．故选AD. 【答案】　AD 【例1】　(1)(x2＋)5的展开式中x4的系数为(　　) A．10 B．20 C．40 D．80 (2)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　) A．10 B．20 C．30 D．60 (3)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________． 【思路点拨】　(1)写出通项公式Tr＋1＝Can－rbr 可求 (2)把a＋b＋c三项的和看成是(a＋b)与c两项的和再写通项 (3)根据二项式定理把(ax＋1)6展开，并写出其通项公式；分析x可由(x－1)与(ax＋1)6 的展开式中的哪些项相乘得到． 【自主解答】　(1)(x2＋)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(x2)5－r·()r＝C·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C·22＝40. (2)(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，令6－k＝5，则k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30. (3)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为Ca2，含x项的系数为Ca，由(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，可得－Ca2＋Ca＝0，因为a为正实数，所以15a＝6