第八章 第七节 二项分布与正态分布-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第七节　二项分布与正态分布 1．条件概率及其性质 (1)条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝(P(A)＞0). (2)条件概率的性质 ①非负性：0≤P(B|A)≤1； ②可加性：如果B和C是两个互斥事件， 则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A). 2．相互独立事件 (1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件． (2)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立． (3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．(4)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)， P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B). (5)一般地，如果事件A1，A2，…，An(n＞2，n∈N*)相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An). 互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点 (1)相同点：二者都是描述两个事件间的关系； (2)不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 3．n重伯努利试验与二项分布 (1)n重伯努利试验 一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与A，每次试验中P(A)＝p＞0.我们将这样的试验称为n重伯努利试验，也称为伯努利试验． (2)二项分布 若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0，1，2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p).Pn(0)＋Pn(1)＋…＋Pn(n)＝1. 4．正态分布 (1)正态密度曲线的函数表达式是P(x)＝e－，x∈R，这里有两个参数μ和σ，其中σ＞0，μ∈R. (2)若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a＜X≤b)恰好是正态密度曲线下方和X轴上(a，b]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2). (3)正态密度曲线图象具有如下特征： ①当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线； ②正态曲线关于直线x＝μ对称； ③σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡； ④在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1. (4)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 随机变量X取值 落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%， 落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%， 落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%. 事实上，μ就是随机变量X的均值，σ2就是随机变量X的方差，它们分别反映X取值的平均大小和稳定程度． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　　) (2)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．(　　) (3)n次独立重复试验要满足：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；②每次试验“成功”的概率为p，“失败”的概率为1－p；③各次试验是相互独立的．(　　) (4)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．(　　) 【解析】　对于(1)，只有当A，B为相互独立事件时，公式P(AB)＝P(A)P(B)才成立． 【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 教材衍化 2．(2023·重庆·高二校联考期末)若η～B，则P(η＝4)＝(　　) A． B． C． D． 【解析】　根据η～B知，P(η＝4)即为独立做6次试验，发生了4次的概率，即Cp4(1－p)2＝C××＝.故选B. 【答案】　B 3．已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝____________． 【解析】　∵X～N(3，1)，∴正态曲线关于x＝3对称， 且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)， ∴2c－1＋c＋3＝2×3，∴c＝. 【答案】　 考题体验 4．(2023·无锡调研)某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x服从正态分布N(100，σ2)，且P(x<80)＝0.2.现从中随机抽取该产品1 000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为(　　) A．200 B