第八章 第六节 离散型随机变量及其分布列-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第六节　离散型随机变量及其分布列 知识点1　离散型随机变量的分布列 (1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(x＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式__P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n__表示X的分布列． (2)性质：①__pi≥0(i＝1，2，…，n)__；②∑n,i＝1pi＝1. 知识点2　两点分布 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中p＝__P(X＝1)__称为成功概率． 知识点3　超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝____，k＝0，1，2，…，m，其中m＝__min{M，n}__，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，则称随机变量X服从超几何分布． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.(　　) (2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义．(　　) (3)如果随机变量X的分布列由下表给出， X 2 5 P 0.3 0.7 则它服从两点分布．(　　) (4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布．(　　) 【解析】　对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(2)，因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示，其中每一个数值都有明确的实际的意义，故(2)不正确；对于(3)，X的取值不是0和1，故不是两点分布，(3)不正确；对于(4)，因为超几何分布是不放回抽样，所以试验中取到黑球的次数X不服从超几何分布，(4)不正确． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 教材衍化 2．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，则正面向上次数X的所有可能取值是______． 【答案】　0，1，2 3．(2023·广东江门·高二统考期末)某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则P(ξ≥9)＝(　　) ξ 8 9 10 P 0.36 a 0.33 A.0.69 B．0.67 C．0.66 D．0.64 【解析】　P(ξ≥9)＝1－P(ξ＝8)＝1－0.36＝0.64.故选D. 【答案】　D 考题体验 4．(多选题)(2023·烟台期中)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格．则下列选项正确的是(　　) A．答对0题和答对3题的概率相同，都为 B．答对1题的概率为 C．答对2题的概率为 D．合格的概率为 【解析】　设此人答对题目的个数为ξ， 则ξ＝0，1，2，3，P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， 则答对0题和答对3题的概率相同，都为，故A错误；答对1题的概率为，故B错误；答对2题的概率为，故C正确；合格的概率p＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝，故D正确．故选CD. 【答案】　CD 5．(2023·徐州月考)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________． 【解析】　由已知得X的所有可能取值为0，1， 且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1， 得P(X＝0)＝. 【答案】　 【例1】　(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P 2－3q q2 则q的值为(　　) A．1　　　　　　 B．± C．－ D．＋ (2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 【思路点拨】　(1)利用“总概率之和为1”来求p值； (2)先求a值，再求P＝P(X＝1)＋P(X＝2)特定事件的概率 【自主解答】　(1)由分布列的性质知 解得q＝－. (2)由×a＝1，知a＝1，得a＝. 故P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝. 【答案】　(1)C 　(2) 【解题心得】　离散型随机变量的分布列的性质的应用 (1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； (2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率