第八章 第二节 排列与组合-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第二节　排列与组合 1．排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的定义 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2．排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝ ＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C 正确理解组合数的性质 (1)C＝C：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数． (2)C＋C＝C：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有C种方法；②含特殊元素A有C种方法． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(　　) (3)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　) (4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　　) (5)kC＝nC.(　　) 【解析】　(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)错；(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故(2)错；(3)若C＝C，则x＝m或n－m，故(3)错． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 教材衍化 2．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　　) A．12　　　　　　 B．24 C．64 D．81 【解析】　4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为A＝24. 【答案】　B 3．计算C＋C＋C＋C的值为________(用数字作答). 【解析】　原式＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝210. 【答案】　210 考题体验 4．(2020·新高考山东卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　) A.120种 B．90种 C．60种 D．30种 【解析】　先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C种选法，再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C种选法，由分步乘法计数原理知，共有C·C·C＝60(种)不同的安排方法．故选C. 【答案】　C 5．(2023·广东江门·高二统考期末)将5名教育志愿者分配到甲、乙、丙和丁4个学校进行支教，每名志愿者只分配到1个学校，每个学校至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　) A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【解析】　根据题意，有一个学校分配2名志愿者，其余学校各分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素分配到4个不同的学校，由分步乘法计数原理可知，不同的分配方案种数为CA＝240种．故选C. 【答案】　C 【例1】　有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻． 【自主解答】　(1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种). (2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有AA＝5 040(种). (3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种). 法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种). (4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种). (5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种). 【解题心得】　求解排列应用问题的6种主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 定序问题除法处